Polinomi. Factorizzazione polinomiale: metodi, esempi

I concetti di "polinomio" e "decomposizione di un polinomio in fattori" in algebra sono molto comuni, perché devono essere noti per eseguire facilmente calcoli con numeri a più cifre di grandi dimensioni. Questo articolo descriverà diversi metodi di decomposizione. Tutti sono abbastanza semplici da usare, devi solo scegliere quello giusto per ogni caso specifico.

Concetto polinomiale

Un polinomio è la somma di monomi, cioè espressioni contenenti solo l'operazione di moltiplicazione.

Ad esempio, 2 * x * y è un monomio, ma 2 * x * y + 25 è un polinomio costituito da 2 monomi: 2 * x * y e 25. Tali polinomi sono chiamati polinomi a due termini.

A volte per comodità di risolvere esempi con valori multivalore, un'espressione deve essere trasformata, ad esempio, scomposta in un numero di fattori, ovvero numeri o espressioni tra cui viene eseguita l'azione di moltiplicazione. Esistono diversi modi per scomporre un polinomio in fattori. Vale la pena considerarli dal più primitivo, che viene utilizzato nella scuola primaria.

Raggruppamento (scrivi in ​​generale)

La formula per la decomposizione di un polinomio in fattori nel modo di raggruppare in forma generale assomiglia a questa:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (annuncio + bd)

È necessario raggruppare i monomiali in modo tale che un fattore comune appaia in ciascun gruppo. Nella prima parentesi è un fattore c, e nella seconda è d. Questo deve essere fatto per poi metterlo fuori dalla parentesi, semplificando così i calcoli.

Algoritmo di decomposizione per un esempio specifico

Di seguito è riportato l'esempio più semplice dell'espansione di un polinomio in fattori mediante il metodo di raggruppamento:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Nella prima parentesi devi prendere i termini con il moltiplicatore a, che sarà comune, e il secondo con il moltiplicatore b. Presta attenzione ai segni + e - nell'espressione finita. Abbiamo messo davanti al monomio il segno che era nell'espressione iniziale. Cioè, è necessario lavorare non con l'espressione 25a, ma con l'espressione -25. Il segno meno sembra essere "incollato" all'espressione dietro di esso e tenerlo sempre in considerazione durante il calcolo.

Il prossimo passo è prendere il moltiplicatore, che è comune, fuori dalla parentesi. Questo è ciò per cui il raggruppamento è fatto. Mettere fuori parentesi significa scrivere davanti alla parentesi (omettendo il segno di moltiplicazione) tutti quei fattori che si ripetono esattamente in tutti i termini che sono nella parentesi. Se la parentesi non è 2, un 3 i termini e altro ancora, il fattore comune deve essere contenuto in ognuno di essi, altrimenti non può essere tolto dalla parentesi.

Nel nostro caso - solo 2 termini tra parentesi. Il fattore comune è immediatamente visibile. Nella prima parentesi è un, nel secondo - b. Qui è necessario prestare attenzione ai coefficienti digitali. Nella prima parentesi, entrambi i coefficienti (10 e 25) sono multipli di 5. Ciò significa che non solo una, ma anche una 5a possono essere messe fuori dalla parentesi. Prima delle parentesi, scrivi 5a e poi dividi ciascuno dei termini tra parentesi per il fattore comune che è stato pronunciato, e scrivi anche il quoziente tra parentesi, senza dimenticare i segni + e - Fai pure la seconda parentesi, prendi 7b, così come 14 e 35 multiplo di 7.

Quindi:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Risultarono 2 termini: 5a (2c - 5) e 7b (2c - 5). Ognuno di essi contiene un fattore comune (l'intera espressione tra parentesi qui coincide, il che significa che è un fattore comune): 2c - 5. Deve anche essere messo fuori dalla parentesi, cioè i termini nella seconda parentesi rimangono 5a e 7b:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Quindi, la piena espressione:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Pertanto, il polinomio 10ac + 14bc - 25a - 35b è scomposto in 2 fattori: (2c - 5) e (5a + 7b). Il segno di moltiplicazione tra di essi può essere omesso durante la scrittura.

A volte ci sono espressioni di questo tipo: 5a ² + 50a ³ , qui puoi eliminare non solo a o 5a, ma anche 5a ² . Dovresti sempre provare a prendere il più grande fattore comune dalla parentesi. Nel nostro caso, se dividiamo ciascun termine in un fattore comune, risulta:

5a ² / 5a ² = 1; 50a ³ / 5а ² = 10а (quando si calcola il quoziente di parecchi gradi con basi uguali, la base viene preservata e l'esponente viene sottratto). Pertanto, l'unità rimane tra parentesi (in ogni caso, non dimenticare di scriverne una se si mette una delle appendici fuori dalla parentesi) e il quoziente: 10a. Si scopre che:

5a ² + 50a ³ = 5a ² (1 + 10a)

Formule quadrate

Per comodità, sono state derivate diverse formule. Sono chiamate formule di moltiplicazione abbreviata e vengono utilizzate abbastanza spesso. Queste formule aiutano a calcolare i polinomi contenenti gradi. Questo è un altro modo efficace di factoring. Quindi, eccoli qui:

• a ² + 2ab + b ² = (a + b) ² - una formula che è chiamata il "quadrato della somma", perché come risultato della scomposizione in un quadrato, la somma dei numeri è racchiusa tra parentesi, cioè il valore di questa somma è moltiplicato per se stesso 2 volte , il che significa che è un moltiplicatore.
• a ² + 2ab - b ² = (a - b) ^{2 - la} formula del quadrato della differenza, è simile alla precedente. Il risultato è una differenza, racchiusa tra parentesi, contenuta in un potere quadrato.
• a ² - b ² = (a + b) (a - b) è una formula per la differenza dei quadrati, poiché il polinomio originale consiste di 2 quadrati di numeri o espressioni tra i quali viene eseguita la sottrazione. Forse, dei tre menzionati, è usato più spesso.

Esempi su calcoli con formula quadrata

I calcoli su di loro sono fatti semplicemente. Ad esempio:

1. 25x ² + 20xy + 4y ² - usa la formula "square sum".
2. 25x ² è espressione quadrata 5x. Il 20 è il prodotto raddoppiato 2 * (5x * 2y) e 4y ² è il quadrato 2y.
3. Quindi, 25x ² + 20xy + 4y ² = (5x + 2y) ² = (5x + 2y) (5x + 2u). Questo polinomio è scomposto in 2 fattori (i fattori sono gli stessi, quindi è scritto come un'espressione con un potere quadrato).

Le azioni che utilizzano la formula quadrata della differenza vengono eseguite allo stesso modo. La formula rimane la differenza dei quadrati. Esempi di questa formula sono molto facili da identificare e trovare tra le altre espressioni. Ad esempio:

• 25a ² - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Poiché 25a ² = (5a) ² e 400 = 20 ²
• 36x ² - 25y ² = (6x - 5y) (6x + 5y). Dal 36x ² = (6x) ² e 25y ² = (5y ² )
• c ² - 169b ² = (c - 13b) (c + 13b). Dal 169b ² = (13b) ²

È importante che ciascuna delle addend sia il quadrato di un'espressione. Quindi questo polinomio è soggetto alla fattorizzazione per la formula della differenza dei quadrati. Per questo, non è necessario che il secondo grado sia superiore al numero. Esistono polinomi contenenti gradi elevati, ma comunque adatti a queste formule.

a ⁸ + 10a ⁴ +25 = (a ⁴ ) ² + 2 * a ⁴ * 5 + 5 ² = (a ⁴ + 5) ²

In questo esempio, un ⁸ può essere rappresentato come (a ⁴ ) ² , cioè il quadrato di una certa espressione. 25 è 5 ² e 10a ⁴ è una doppia opera condizioni 2 * a ⁴ * 5. Cioè, questa espressione, nonostante la presenza di gradi con grandi esponenti, può essere scomposta in 2 fattori per lavorare con loro più tardi.

Cubetti di formula

Esistono le stesse formule per il factoring di polinomi contenenti cubi. Sono un po 'più complicati di quelli con i quadrati:

• a ³ + b ³ = (a + b) (a ² - ab + b ² ) - questa formula è chiamata la somma di cubi, poiché nella sua forma iniziale il polinomio è la somma di due espressioni o numeri racchiusi in un cubo.
• a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ² ) - una formula identica alla precedente, denotata come differenza di cubi.
• a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ = (a + b) ^{3 è il} cubo della somma, come risultato dei calcoli, la somma di numeri o espressioni è data, racchiusa tra parentesi e moltiplicata per se stessa 3 volte, cioè in un cubo
• a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³ = (a - b) ³ - una formula composta per analogia con la precedente con la modifica di solo alcuni dei segni delle operazioni matematiche (più e meno) è chiamata "differenza cubo".

Le ultime due formule non sono praticamente utilizzate allo scopo di scomporre un polinomio in fattori, poiché sono complessi, e piuttosto raramente ci sono polinomi che corrispondono completamente a una tale struttura in modo che possano essere espansi secondo queste formule. Ma devi ancora conoscerli, poiché saranno necessari per azioni nella direzione opposta - quando si aprono le parentesi.

Esempi di formula del cubo

Considera un esempio: 64a ³ - 8b ³ = (4a) ³ - (2b) ³ = (4a - 2b) ((4a) ² + 4a * 2b + (2b) ² ) = (4a - 2b) (16a ² + 8ab + 4b ² ).

Qui sono presi abbastanza numeri primi quindi, puoi immediatamente vedere che 64a ³ è (4a) ³ , e 8b ³ è (2b) ³ . Quindi, questo polinomio è scomposto dalla differenza di formula dei cubi di 2 fattori. Le azioni sulla formula per la somma dei cubi sono fatte per analogia.

È importante capire che non tutti i polinomi sono soggetti a decomposizione in almeno uno dei modi. Ma ci sono espressioni di questo tipo che contengono gradi maggiori di un quadrato o di un cubo, ma possono anche essere espanse in forme di moltiplicazione abbreviata. Ad esempio: x ¹² + 125y ³ = (x ⁴ ) ³ + (5y) ³ = (x ⁴ + 5y) * ((x ⁴ ) ² - x ⁴ * 5y + (5y) ² ) = (x ⁴ + 5y) ( x ⁸ - 5x ⁴ y + 25y ² ).

Questo esempio contiene fino a 12 gradi. Ma anche è possibile calcolarlo usando la formula per la somma dei cubi. Per fare ciò, x ¹² deve essere rappresentato come (x ⁴ ) ³ , cioè come un cubo di qualche espressione. Ora, invece che nella formula, è necessario sostituirlo. Ma l'espressione 125y ³ è un cubo di 5 anni. Successivamente, si dovrebbe rendere il prodotto in base alla formula e fare calcoli.

All'inizio, o in caso di dubbio, è sempre possibile eseguire un controllo di moltiplicazione inverso. Hai solo bisogno di aprire le parentesi nell'espressione risultante ed eseguire azioni con termini simili. Questo metodo si applica a tutti i metodi di riduzione elencati: sia per lavorare con un fattore e un raggruppamento comuni, sia per le azioni che utilizzano le formule di cubi e gradi quadrati.