Problemi risolti usando l'equazione: esempi, spiegazione. Problemi di algebra

Prima o poi, qualsiasi scolaro nelle lezioni di algebra incontrerà problemi risolti dall'equazione. Inizialmente, la comparsa di lettere anziché i soliti numeri e le azioni con loro confondono anche i più dotati, ma se si guarda, tutto non è così difficile come sembra a prima vista.

Algoritmo della decisione

Prima di passare agli esempi concreti, è necessario comprendere l'algoritmo per risolvere i problemi usando le equazioni. In ogni equazione c'è uno sconosciuto, il più delle volte indicato dalla lettera X. Anche in ogni problema c'è ciò che deve essere trovato, lo stesso sconosciuto. È proprio questo che dovrebbe essere designato come X. E poi, seguendo le condizioni del problema, aggiungi, sottragga, moltiplichi e dividi - esegui tutte le azioni necessarie.

Dopo aver trovato l'ignoto, è imperativo eseguire il controllo per accertarsi che il problema sia risolto correttamente. Vale la pena notare che i bambini già alle elementari iniziano a risolvere i problemi con l'aiuto di equazioni. Esempi di questo sono quei compiti che devono essere risolti dai segmenti, che sono gli analoghi più completi delle lettere sconosciute.

La base delle basi - il problema del cestino

Quindi, proviamo in pratica ad applicare la soluzione dei problemi usando le equazioni, la cui spiegazione dell'algoritmo è stata data un po 'più in alto.

Viene assegnato un compito: sono stati piantati un certo numero di canestri con mele. In primo luogo, sono stati venduti 3 cestini, quindi sono stati completati altri 8 cesti. Il risultato è stato di 12 canestri. Quanti cesti di mele sono stati originariamente raccolti ?

Iniziamo la soluzione del problema designando l'ignoto - cioè il numero iniziale di canestri - la lettera X. Ora iniziamo a fare l'equazione: X (quantità iniziale) - 3 (cestini venduti) + 8 (quelli che sono stati raccolti in seguito) = 12 (numero totale di cesti ), cioè X - 3 + 8 = 12. Risolvendo una semplice equazione, otteniamo che X = 7. Assicurati di eseguire il test, cioè sostituisci il numero trovato nell'equazione: 7 - 3 + 8 è effettivamente uguale a 12, cioè il problema viene risolto correttamente.

Fissaggio: sale da concerto

Viene dato il seguente compito: In due sale da concerto ci sono 450 posti. È noto che in una sala ci sono 4 volte più posti che nell'altro. Bisogno di sapere quanti posti in ogni stanza .

Per risolvere problemi simili nell'algebra, dobbiamo nuovamente applicare l'equazione. Sappiamo che la somma di due numeri, uno dei quali è 4 volte più grande dell'altro, è 450. Lascia che il numero di posti nella sala più piccola, l'ignoto, sia uguale a X, quindi il numero di posti nella sala più grande è 4 * X = 4X. Pertanto, 450 = X + 4X = 5X. E poi devi risolvere l'equazione standard 450 = 5X, dove X = 450/5 = 90, cioè nella sala più piccola ci sono 90 posti, il che significa in quello più grande - 90 * 4 = 360. Per verificare che il problema sia risolto correttamente, puoi verificare la disuguaglianza: 360 + 90 = 450, cioè la risposta è corretta.

Classico: scaffali

Ma i problemi risolti dall'equazione possono essere più complicati. Ad esempio, ci sono tre scaffali con libri. Ci sono altri 8 libri sul primo scaffale che sul secondo e 3 volte di più sul terzo del secondo, e il numero di libri sul primo e terzo scaffale è uguale. Quanti libri ci sono su ogni scaffale?

È chiaro che è necessario spingere fuori dal secondo scaffale, che si trova in entrambe le condizioni. Se designiamo il numero di libri su di esso per X, quindi sul primo scaffale X + 8 libri e sul terzo - X * 3 libri, mentre X + 8 = 3X. Risolvendo l'equazione, otteniamo X = 4. Eseguiamo il test, sostituendo l'incognito in uguaglianza: 4 + 8 è veramente uguale a 3 * 4, cioè il problema è risolto correttamente.

Esercitati ulteriormente: castori

Come puoi vedere, risolvere i problemi con un'equazione è molto più facile di quanto possa sembrare a prima vista. Stabiliremo le capacità di lavorare con le equazioni con un'altra attività. Il primo castoro ha rosicchiato alcuni alberi in un giorno. Il secondo castoro ha rosicchiato 6 volte di più. Il terzo castoro ha rosicchiato 2 volte più alberi rispetto al primo, ma 3 volte in meno rispetto al secondo. Quanti alberi ha morso ogni castoro?

Il compito non è così complicato come sembra a prima vista. Per prima cosa troviamo l'ignoto - in questo problema, questo è il numero di alberi rosicchiati dal primo castoro. Di conseguenza, il secondo castoro ha distrutto alberi di 6 * X e il terzo - 2 * X, e questo numero è 3 volte inferiore a 6 * X. Crea l'equazione: 6X = 3 * 2X. Dopo averlo risolto, otteniamo che il primo castoro abbia rosicchiato un solo albero, poi il secondo - 6 e il terzo - 2. Sostituendo i numeri nell'equazione, capiamo che il problema è risolto correttamente.

Correliamo le equazioni e le condizioni

Se ti viene detto: "Per ogni problema, seleziona l'equazione appropriata", non preoccuparti, è tutto reale.

Le seguenti equazioni sono fornite:

1. 6 + X = 2X;
2. 6 = 2X;
3. 2 + X = 6 .

Le condizioni delle attività sono le seguenti:

1. Il ragazzo aveva 6 mele e la ragazza era due volte più piccola, quante mele aveva la ragazza?
2. Sul tavolo ci sono penne e matite, si sa che sul tavolo ci sono 6 penne e 2 matite in meno, quante penne e quante matite sul tavolo?
3. Vanya ha sei monete in più di Tanya e Tanya ha due volte meno di Ani, quante monete ha ogni bambino, se Vanya e Ani hanno la stessa quantità di monete?

Creiamo equazioni per ciascuno dei problemi.

• Nel primo caso, non conosciamo il numero di mele in una ragazza, cioè è uguale a X, sappiamo che X è 2 volte meno di 6, cioè 6 = 2X, quindi l'equazione n. 2 si adatta a questa condizione.
• Nel secondo caso, X indica il numero di matite, quindi il numero di penne X + 2, ma sappiamo che ci sono 6 penne, cioè X + 2 = 6, il che significa che la terza equazione si adatta qui.
• Per quanto riguarda l'ultimo compito, al numero 3, il numero di Tannini, che si verifica in due condizioni, è lo sconosciuto sconosciuto, quindi Vanya ha 6 + X monete e Ani ha 2X monete, cioè 6 + X = 2X - è ovvio che prima equazione

Se hai problemi risolti con l'aiuto dell'equazione, a cui devi trovare l'uguaglianza appropriata, quindi crea un'equazione per ciascuno dei problemi, quindi confronta ciò che hai con queste equazioni.

Complicate: il sistema di equazioni - caramelle

Lo stadio successivo nell'applicazione dell'uguaglianza delle lettere in algebra è rappresentato dai problemi risolti da un sistema di equazioni. Ci sono due incognite in loro, e uno di loro è espresso in termini dell'altro in base ai dati disponibili. È noto che Pasha e Katie insieme 20 caramelle. È anche noto che se Pasha avesse altre 2 caramelle, avrebbe avuto 15 caramelle, quante caramelle ciascuna?

In questo caso, non conosciamo né il numero di caramelle di Katy né il numero di caramelle di Sasha, quindi, abbiamo due incognite, X e Y, rispettivamente. Allo stesso tempo, sappiamo che Y + 2 = 15.

Realizzando un sistema, otteniamo due equazioni:

1. X + Y = 20;
2. Y + 2 = 15.

E poi agiamo secondo le regole del risolvere sistemi: deriviamo Y dalla seconda equazione, ottenendo Y = 15 - 2, e poi lo sostituiamo nel primo, cioè X + Y = X + (15 - 2) = 20. Avendo risolto l'equazione, otteniamo X = 7, quindi Y = 20 - 7 = 13. Controlla la correttezza della soluzione, sostituendo Y nella seconda equazione: 13 + 2 è veramente uguale a 15, cioè Katya ha 7 caramelle e Pasha - 13.

Ancora più difficile: equazioni di secondo grado e terra

Ci sono anche problemi nell'algebra che sono risolti equazione quadratica. Non c'è nulla di complicato in loro, solo il sistema standard viene trasformato in un'equazione quadratica durante la soluzione. Ad esempio, un appezzamento di terreno di 6 ettari (60.000 metri quadrati) è dato, la recinzione che lo racchiude è lunga 1000 metri. Quali sono la lunghezza e la larghezza della trama?

Formiamo l'equazione. La lunghezza della recinzione è il perimetro del sito, quindi, se la lunghezza è indicata da X e la larghezza è Y, quindi 1000 = 2 * (X + Y). L'area è la stessa, cioè X * Y = 60000. Dalla prima equazione deriviamo X = 500 - Y. Sostituendola nella seconda equazione, otteniamo (500 - Y) * Y = 60000, cioè, 500Y - Y ² = 60000. Avendo risolto l'equazione, otteniamo lati pari a 200 e 300 metri - l'equazione quadratica ha due radici, una delle quali spesso non è adatta per la condizione, ad esempio è negativa, mentre la risposta dovrebbe essere il numero di naturale pertanto, la verifica è obbligatoria.

Ripeti: alberi nel giardino

Risolvendo l'argomento, risolviamo un altro problema. Ci sono diversi alberi di mele, 6 pere e diversi alberi di ciliegio nel giardino. È noto che il numero totale di alberi è 5 volte superiore al numero di alberi di mele, mentre ci sono 2 volte più alberi di ciliegio che alberi di mele. Quanti alberi sono di ogni tipo nel giardino e quanti nel giardino sono tutti gli alberi?

Per la X sconosciuta, come è probabilmente già chiaro, indichiamo alberi di mele, attraverso i quali possiamo esprimere le altre quantità. È noto che Y = 2X e Y + X + 6 = 5X. Sostituendo Y dalla prima equazione, otteniamo l'uguaglianza 2X + X + 6 = 5X, da cui X = 3, quindi nel giardino Y = 3 * 2 = 6 ciliegi. Controlliamo e rispondiamo alla seconda domanda, aggiungendo i valori risultanti: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, ovvero il problema è risolto correttamente.

Controllo: la somma dei numeri

Risolvere i problemi usando un'equazione è lontano dall'essere difficile come sembra a prima vista. L'importante è non commettere errori nello scegliere l'ignoto e, cosa più importante, esprimerlo correttamente, specialmente se stiamo parlando di un sistema di equazioni. In conclusione, viene presentato l'ultimo problema, molto più complesso di quelli presentati sopra.

La somma di tre numeri è 40. È noto che X = 2Y + 3Z e Y = Z - 2/3. A cosa corrispondono X, Y e Z?

Quindi iniziamo a sbarazzarci del primo sconosciuto. Invece di X, sostituiamo l'espressione corrispondente in uguaglianza, otteniamo 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. Successivamente, sostituiamo anche la nota Y, per ottenere l'uguaglianza 3Z - 2 + 4Z = 40, da cui Z = 6. Tornando a Y, troviamo che è uguale a 5.2, e X, a sua volta, è uguale a 18. Con l'aiuto della verifica siamo convinti della verità dell'espressione, quindi il problema è risolto correttamente.

conclusione

Quindi, quali sono i problemi risolti dall'equazione? Sono spaventosi come sembra a prima vista? Assolutamente no! Con la dovuta diligenza per capirli non è difficile. E una volta compreso l'algoritmo, in futuro potrai fare clic su enigmi simili, anche i più complessi, come i semi. La cosa principale è l'attenzione, è lei che aiuterà a determinare correttamente l'ignoto e, risolvendo a volte un insieme di equazioni, trova la risposta.