Errore relativo e assoluto: concetto, calcolo e proprietà

Nella nostra epoca, l'uomo ha inventato e utilizza una grande varietà di vari dispositivi di misurazione. Ma non importa quanto sia perfetta la loro tecnologia di produzione, hanno tutti un errore maggiore o minore. Questo parametro, di norma, è indicato sullo strumento stesso, e per valutare l'accuratezza della quantità da determinare, si deve essere in grado di capire quali sono i numeri indicati sulla media di marcatura. Inoltre, l'errore relativo ed assoluto sorge inevitabilmente in complessi calcoli matematici. È ampiamente utilizzato nelle statistiche, nell'industria (controllo di qualità) e in una serie di altre aree. Come viene calcolato questo valore e come interpretarne il valore: questo è esattamente ciò di cui tratta questo articolo.

Errore assoluto

Sia x il valore approssimativo di qualsiasi valore, ottenuto, ad esempio, da una singola misurazione, e x ₀ è il suo valore esatto. Ora calcoliamo il modulo della differenza tra questi due numeri. Errore assoluto - questo è precisamente il significato che abbiamo ottenuto come risultato di questa semplice operazione. Nella lingua delle formule, questa definizione può essere scritta in questo modo: Δ x = | x - x 0 |.

Errore relativo

La deviazione assoluta ha un importante svantaggio: non consente di valutare il grado di importanza dell'errore. Ad esempio, acquistiamo 5 kg di patate sul mercato e un venditore senza scrupoli ha fatto 50 grammi a suo favore per misurare il peso. Cioè, l'errore assoluto era di 50 grammi. Per noi, un tale errore sarà un tantino e non presteremo nemmeno attenzione a questo. E immagina cosa succederà se si verifica un errore simile durante la preparazione di un farmaco? Qui tutto sarà molto più serio. E quando si carica un vagone merci, le deviazioni sono sicuramente molto più alte di questo valore. Pertanto, l'errore assoluto di per sé non è informativo. Oltre a questo, molto spesso viene calcolata una deviazione aggiuntiva, che è uguale al rapporto tra l'errore assoluto e il valore esatto del numero. Questo è scritto dalla seguente formula: δ = Δ x / x ₀ .

Proprietà di errore

Supponiamo di avere due valori indipendenti: xey. Dobbiamo calcolare la deviazione del valore approssimativo della loro somma. In questo caso, possiamo calcolare l'errore assoluto come la somma delle deviazioni assolute calcolate in precedenza per ciascuna di esse. In alcune misurazioni può accadere che errori nel determinare i valori di xey si compensino a vicenda. E può succedere che a seguito dell'aggiunta delle deviazioni aumenti al massimo. Pertanto, quando viene calcolato l'errore assoluto totale, deve essere considerata la peggiore di tutte le opzioni. Lo stesso vale per la differenza di errori di diverse quantità. Questa proprietà è caratteristica solo per l'errore assoluto e non può essere applicata alla deviazione relativa, poiché ciò porterà inevitabilmente a un risultato errato. Considera questa situazione nel seguente esempio.

compito

Supponiamo che le misurazioni all'interno del cilindro mostrino che il raggio interno (R ₁ ) è 97 mm e che l'esterno (R ₂ ) è 100 mm. È necessario determinare lo spessore della sua parete. Innanzitutto, trova la differenza: h = R ₂ - R ₁ = 3 mm. Se l'attività non indica a cosa corrisponde l'errore assoluto, viene preso come metà della divisione della scala dispositivo di misurazione. Quindi, Δ (R ₂ ) = Δ (R ₁ ) = 0,5 mm. L'errore assoluto totale è: Δ (h) = Δ (R ₂ ) + Δ (R ₁ ) = 1 mm. Ora calcoliamo la deviazione relativa di tutte le quantità:

δ (R ₁ ) = 0,5 / 100 = 0,005,

δ (R ₁ ) = 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

δ (h) = Δ (h) / h = 1/3 ≈ 0.3333 >> δ (R ₁ ).

Come potete vedere, l'errore di misurazione di entrambi i raggi non supera il 5,2% e l'errore nel calcolare la loro differenza - lo spessore della parete del cilindro - ammonta a ben 33, (3)%!

La seguente proprietà si legge come segue: la deviazione relativa del prodotto di più numeri è approssimativamente uguale alla somma delle deviazioni relative dei singoli fattori:

δ (xy) ≈ δ (x) + δ (y).

Inoltre, questa regola è vera indipendentemente dal numero di valori stimati. La terza e ultima proprietà di errore relativo è che la stima relativa del numero di potenza k è approssimativamente in | k | volte l'errore relativo del numero originale:

δ (х ^k ) ≈ | k | x δ (x).