Il perimetro del quadrato e del rettangolo. Metodi di determinazione ed esempi di soluzioni.

Spesso, su Internet, puoi trovare ridicolo su come la conoscenza della matematica - integrali, differenziali, funzioni trigonometriche e altre sezioni del soggetto - non aiuti ad alleviare la vita di una persona. Tali battute sono vane, perché in quanto aiuta la capacità di calcolare correttamente il perimetro del quadrato, del rettangolo e di altre forme geometriche nei lavori di costruzione. Il consumo di materiale: piastrelle, carta da parati, pavimenti - non può essere determinato senza la comprensione di formule matematiche elementari e forme geometriche.

Proprietà quadrate

Qualsiasi calcolo in matematica si basa sulle proprietà dell'oggetto. Per rispondere alla domanda: "Qual è il perimetro di un quadrato?", Si raccomanda di ricordare le caratteristiche distintive di questa figura.

1. Uguaglianza di tutte le parti.
2. La presenza di quattro angoli di 90 gradi.
3. Parallelismo delle parti.
4. Simmetria del perno. Quando la figura ruota, il suo aspetto rimane invariato.
5. Capacità di descrivere e inserire il cerchio.
6. Le diagonali all'incrocio si dividono a metà.
7. L'area della figura caratterizza lo spazio riempito con il quadrato nello spazio bidimensionale.
8. Il perimetro della figura non è altro che la somma delle lunghezze dei suoi lati.
9. Dalla proprietà precedente segue che le unità di misura del perimetro saranno unità di lunghezza: m, cm, dm e altre.

Per contare gli zoccoli per completare le riparazioni in una stanza quadrata, è necessario conoscere la lunghezza della stanza. Per fare questo, calcola il suo perimetro.

perimetro

Tradotto dalla parola greca significa "misura intorno". Il termine si applica a tutte le forme chiuse: quadrato, cerchio, rettangolo, triangolo, trapezoide e altri. La conoscenza della definizione del perimetro delle figure elementari è necessaria per risolvere complessi problemi geometrici con oggetti di forma irregolare. Ad esempio, per calcolare i plinti in una stanza con un layout di tipo "G", o come viene anche chiamato "boot", sarà necessario determinare il perimetro di un quadrato e un rettangolo. Dopotutto, la forma della stanza consiste in queste figure elementari.

La designazione standard di una tale dimensione è la lettera R. Ogni figura, tenendo conto delle sue proprietà, ha la sua formula per determinare il perimetro.

Proprietà del rettangolo

1. Uguaglianza dei lati opposti.
2. Uguaglianza delle diagonali.
3. Capacità di descrivere il cerchio.
4. Le altezze del rettangolo sono uguali ai suoi lati.
5. La somma degli angoli è di 360 gradi e tutti gli angoli sono corretti.
6. Parallelismo di lati opposti.
7. Perpendicolarità dei lati adiacenti.
8. La somma dei quadrati delle diagonali di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati.
9. Intersecando, le diagonali si dividono a metà.
10. Incapacità di adattarsi a un cerchio in una forma.

Quadrato perimetrale

A seconda dei parametri stabiliti (noti) del quadrato, esistono diverse formule per determinarne il perimetro. Un compito semplice è calcolare il perimetro a una lunghezza fissa del suo lato (i). In questo caso, Р = с + с + с + с o 4 * с. Ad esempio, la lunghezza del lato del quadrato è 7 cm, quindi il perimetro della figura sarà 28 cm (4 * 7).

Nel primo caso, tutto è chiaro, ma come trovare il perimetro piazza, conoscendo la sua area? E qui tutto è molto chiaro. Poiché l'area della figura è determinata moltiplicando un lato per l'altro e tutti i lati sono uguali sul quadrato, è necessario estrarre la radice da un valore noto. Esempio: c'è un quadrato con un'area di 25 dm ² . La radice di 25 è 5 - questo valore caratterizza la lunghezza del lato del quadrato. Ora, sostituendo il valore trovato - 5 dm ² - nella formula perimetrale originale, possiamo risolvere il problema. La risposta sarà un valore di 20 dm. Cioè, 4 moltiplicato per 5, ha ricevuto il valore desiderato.

Quadrato e cerchio

Dalle proprietà della figura in esame appare che un cerchio può essere inscritto in un quadrato e può anche essere descritto attorno alla figura.

La prima opzione è trovare il perimetro lungo la circonferenza del circumcircle. L'inscritto è un quadrato i cui vertici sono su un cerchio. Il raggio del cerchio è 1/2 della lunghezza diagonale. Risulta che il diametro è uguale alla diagonale. Ora devi considerare triangolo rettangolo che era il risultato della divisione della diagonale del quadrato. La soluzione del problema si riduce alla ricerca dei lati di questo triangolo. BC è un valore noto, il diametro del circumcircle. Supponiamo che sia uguale a 3 cm. Il teorema di Pitagora nel caso di lati uguali di un triangolo sarà simile a questo: 2c ² = 3 ² . Nella formula, il simbolo è la lunghezza del lato del triangolo e del quadrato; 3 - il valore noto dell'ipotenusa. Quindi, c = √9 / 2. Conoscendo il lato del quadrato, il suo perimetro non è un problema da calcolare.

Una caratteristica del cerchio inscritto è la divisione dei lati del quadrato a metà. Pertanto, il raggio è pari alla metà della lunghezza del lato del quadrato. Quindi lato c = 2 * raggio. Il perimetro del quadrato in questo caso è 4 * 2 * raggio o 8 raggi di un cerchio.

Rettangolo perimetrale

La formula più elementare per determinare il perimetro di un rettangolo attraverso i valori noti dei suoi lati è la seguente: P = 2 (a + b), dove a e b sono le lunghezze dei lati della figura.

La diagonale di un rettangolo, simile a un quadrato, divide la figura a metà, formando un triangolo rettangolo. Tuttavia, il compito è complicato dal fatto che i lati di questo triangolo non sono uguali. Nel caso di un valore noto di uno dei lati e di una diagonale, il secondo può essere trovato seguendo il teorema di Pitagora: d ² = a ² + in ² , dove a e v sono lati della figura, e d è la diagonale.

Se nessuna delle parti è sconosciuta, entra in gioco la conoscenza della trigonometria: seni, coseni e altre funzioni.

Trovare il perimetro lungo il cerchio circoscritto e il diametro noto si riduce al fatto che il diametro è uguale alla lunghezza della diagonale della figura. Inoltre, la soluzione del problema è determinata dalla presenza di quantità note. Se vengono forniti gli angoli, quindi attraverso le funzioni trigonometriche. Se viene dato un lato, la risposta sarà trovata attraverso il teorema di Pitagora.

Funzioni rettangolari e trigonometriche

Per chiarezza, un esempio di risoluzione del problema. Dato: rettangolo AVSD; lunghezza diagonale ( d ) 20 cm; angolo f - 30 °. Trova il perimetro della figura.

Dalla trigonometria, è necessario ricordare quanto segue: il seno di un angolo in un triangolo rettangolo è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa. Il seno di 30 ° (ci sono tabelle con cui è possibile determinare i valori delle funzioni trigonometriche per gli angoli corretti) è 1/2. Risulta 1/2 = rapporto in a d . Il valore sconosciuto in sarà uguale a d / 2 = 20/2 = 10 cm.

Per calcolare il perimetro, dovresti trovare il secondo lato della figura. È possibile attraverso il teorema di Pitagora, poiché le lunghezze dell'ipotenusa e di una delle gambe sono note, o ancora attraverso le proporzioni del coseno dell'angolo.

Il coseno dell'angolo φ è espresso come il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa ed è uguale a √3 / 2.

√3 / 2 = n / d , n = (d * √3) / 2 o 10 * √3. Dopo aver estratto la radice da 3, otteniamo la lunghezza del lato del triangolo: 10 * 1,73 = 17,3 cm.

Il perimetro è 2 (17,3 + 10) = 2 * 27,3 = 54,6 cm.

Perimetro e atteggiamento

Nel programma scolastico ci sono problemi di geometria, quando le lunghezze dei lati di un rettangolo sono espresse dalla loro relazione l'una con l'altra. La considerazione della soluzione di questo problema è presentata sotto.

È noto che la somma delle lunghezze di tutti i lati del rettangolo, cioè il suo perimetro, è di 84 cm. Il rapporto tra la lunghezza (d) e la larghezza (w) è 3: 2. Trova i lati della figura.

Soluzione: lascia che la lunghezza sia 3x, e la larghezza 2x, in base alla relazione dalla condizione del problema. La formula del perimetro del rettangolo con i dati delle lunghezze dei lati sarà la seguente: 3x + 3x + 2x + 2x = 84. Inoltre, 10x = 84, x = 8,4 cm Sostituendo x nell'espressione della lunghezza e della larghezza del rettangolo, è possibile trovare i valori desiderati. La lunghezza sarà: 3 * 8.4 = 25.2 cm; larghezza: 2 * 8,4 = 16,8 cm.

L'articolo è dedicato alla risoluzione dei compiti più frequenti nel curriculum scolastico. E questo non è tutto il modo di trovare il perimetro di un quadrato e un rettangolo.