Progressione geometrica, la sua applicazione nella risoluzione dei problemi

Indiano antico il re ha deciso di ricompensare generosamente l'inventore degli scacchi: "Chiedimi cosa vuoi per un gioco così saggio". La modesta risposta sorprese il sovrano quando il saggio chiese grani di grano quanto poteva adattarsi a 64 celle di una scacchiera. Ha detto: "Metti 1 grano sulla prima cella, 2 sul secondo, 4 sul terzo, poi 8, 16, 32, ...". Il numero di grani ha dovuto raddoppiare ogni volta. Il risultato nel conteggio ha stordito il re. I grani contavano 230.584.300.921.369 sterline. Si scopre che una progressione geometrica è stata ottenuta da questa serie di numeri. La somma dei suoi membri è così grande che i cereali sono stati contati molte volte di più dell'intero raccolto mondiale di grano.

Sequenza di numeri

In esso, ogni numero successivo, a partire dal secondo, si ottiene moltiplicando il precedente per un numero costante q (const), chiamato denominatore. Il primo numero è ₁ ≠ 0 e q ≠ 0. Puoi scrivere così:
in ₁ ; in ₂ = in ₁ ∙ q; in ₃ = in ₂ ∙ q; ...; in _n = in _n-1 ∙ q.
Nel nostro esempio {in _n } i numeri crescono molto rapidamente. Questa è una progressione geometrica crescente, poiché il denominatore positivo è q> 1 e in ₁ > 0. If | q | <1, la progressione sta diminuendo, con q <0 - alternato. Ecco la formula per ogni membro di tale sequenza:
in _n = in ₁ ∙ q ^n-1 .
Il problema proposto dei grani è risolto dalla formula ben nota per la somma dei membri n-primi di una progressione geometrica crescente
S = (a ₁ -a _p ∙ q) :( 1-q), a condizione che q ≠ 1.
Per risolvere molti altri problemi, è importante conoscere la proprietà caratteristica di una progressione. Qualsiasi termine nel quadrato (eccetto il primo) è uguale al prodotto di termini equidistanti da esso,
in _n ² = in nk ∙ in _{n + k} , dove 1 ≤ k <n, n ≥ 2.

Progressione geometrica infinita

È una serie di numeri come n tende a ∞. Un esempio potrebbe essere una sequenza di quadrati di quadrati, che vengono ottenuti come segue. Colleghiamo i punti medi dei lati di questa unità, quindi colleghiamo anche i punti medi dei lati del nuovo quadrato, continuiamo questo processo all'infinito {1, ½, ¼, 1/8, ...}. Il primo termine della progressione 1, denominatore ½. Una progressione geometrica decrescente è chiamata infinita se il suo denominatore appartiene a un segmento aperto (0, 1). Se consideriamo il segmento (-1, 1), allora dobbiamo parlare di una sequenza convergente e divergente di numeri. Quando si risolvono i problemi applicati, è utile conoscere una semplice formula per la somma dei membri di una progressione geometrica infinitamente decrescente.
S = in ₁ / (1-q).

Esempi di attività che utilizzano la progressione geometrica

1. Scrivi la frazione periodica 0, (13) sotto forma di numero razionale (frazione ordinaria).
   Immagina la frazione decimale come somma:
   0.131313 ... = 13/100 + 13/10000 + 13/1000000 + ...
   Ovviamente, in ₁ = 13/100, calcoliamo q: 13/10000 e dividiamo per 13/100,
   otteniamo q = 1/100. L'importo proposto è facile da trovare con la formula
   S = (13/100) / (1- (1/100)) = (13/100) (100/99) = 13/99 - questa è la rappresentazione della frazione decimale sotto forma di una ordinaria.
   
2. Nella progressione infinitamente decrescente, il 2 ° termine a ₂ = 21 e la somma S = 112 sono noti e si richiede di trovare il suo primo membro. Quando risolviamo, usiamo le formule della somma di un infinito geometrico e secondo termine della progressione, otteniamo un sistema di 2 equazioni con due incognite.
   La prima equazione di questo sistema è 112 = a ₁ / (1-q), e ₁ = 21 / q è il 2 °.
   Dopo averlo risolto, otteniamo equazione quadratica per quanto riguarda q.
   112q ² -112q + 21 = 0, semplificare 16q ² -16q + 3 = 0.
   Di conseguenza, 2 radici q ₁ = ¾, q ₂ = ¼. Primo membro
   a ₁ = 21 / (3/4), e il primo termine a ₁ = 21 / (1/4).
   Il nostro compito ha 2 soluzioni: a ₁ = 28 e ₁ = 84.

conclusione

La progressione geometrica è ampiamente usata per risolvere molti problemi nel trovare il numero di un dato membro di una sequenza, il suo denominatore, a condizione che non siano specificati due membri adiacenti. Ci sono problemi interessanti in cui i membri sono scritti sotto forma di espressioni con variabili.