Moto di una particella carica in un campo magnetico: formule. Moto di particelle cariche in un campo magnetico uniforme

Come è noto, il campo elettrico è solitamente caratterizzato dalla grandezza della forza con cui agisce sull'unità di prova carica elettrica Il campo magnetico è tradizionalmente caratterizzato dalla forza con cui agisce su un conduttore con una corrente "singola". Tuttavia, mentre scorre, un movimento ordinato di particelle cariche si verifica in un campo magnetico. Pertanto, possiamo determinare il campo magnetico B in un punto dello spazio dal punto di vista della forza magnetica F _B che il campo esercita sulla particella mentre si muove in esso con la velocità v.

Proprietà generali della forza magnetica

Esperimenti in cui è stato osservato il movimento di particelle cariche in un campo magnetico danno i seguenti risultati:

• La magnitudo F _{B della} forza magnetica che agisce sulla particella è proporzionale alla carica q e alla velocità v della particella.
• Se il moto di una particella carica in un campo magnetico avviene parallelamente al vettore di questo campo, allora la forza che agisce su di esso è zero.
• Quando il vettore di velocità delle particelle rende qualsiasi angolo θ 0 con un campo magnetico, la forza agisce nella direzione perpendicolare a v e B; cioè, F _{B è} perpendicolare al piano formato da v e B (vedi figura sotto).
• L'entità e la direzione di F _B dipendono dalla velocità delle particelle e dall'ampiezza e direzione del campo magnetico B.
• La direzione della forza che agisce sulla carica positiva è opposta alla direzione della stessa forza che agisce sulla carica negativa che si muove nella stessa direzione.
• L'entità della forza magnetica che agisce su una particella mobile è proporzionale al peccato θ dell'angolo θ tra i vettori v e B.

Forza di Lorenz

Possiamo riassumere le osservazioni di cui sopra registrando la forza magnetica come F _B = qv x B.

Quando una particella carica si muove in un campo magnetico, la forza di Lorentz F _B con un q positivo è diretta lungo il prodotto vettoriale vx B. È per definizione perpendicolare a entrambi v e B. Riteniamo che questa equazione sia la definizione operativa di un campo magnetico in un punto dello spazio. Cioè, è definito in termini di forza che agisce sulla particella mentre si muove. Pertanto, il movimento di una particella carica in un campo magnetico può essere definito brevemente come movimento sotto l'azione di questa forza.

Una carica che si muove ad una velocità v in presenza sia del campo elettrico E che del B magnetico è influenzata sia dalla forza elettrica qE che dal qv magnetico B. B. L'effetto totale applicato ad esso è F _L = qE + qv x B. Si chiama così: tutta la potenza di Lorentz.

Moto di particelle cariche in un campo magnetico uniforme

Consideriamo ora un caso speciale di una particella caricata positivamente che si muove in un campo uniforme, con un vettore di velocità iniziale perpendicolare ad esso. Supponiamo che il vettore del campo B sia diretto per pagina. La figura seguente mostra che la particella si muove in un cerchio in un piano perpendicolare a B.

Il moto circolare di una particella carica in un campo magnetico si verifica perché la forza magnetica F _{B è} diretta ad angoli retti rispetto a v e B e ha un valore costante di qvB. Quando la forza devia le particelle, le direzioni v e F _B cambiano continuamente, come mostrato nella figura. Poiché F _{B è} sempre diretto verso il centro del cerchio, cambia solo la direzione di v, non il suo valore. Come mostrato nella figura, il movimento di una particella caricata positivamente in un campo magnetico avviene in senso antiorario. Se q è negativo, la rotazione avverrà in senso orario.

Dinamica del movimento circolare di una particella

Quali parametri caratterizzano il movimento sopra descritto di una particella carica in un campo magnetico? Formule per la loro determinazione, possiamo ottenere, se prendiamo l'equazione precedente ed equipariamo la forza centrifuga F _B richiesta per mantenere la traiettoria circolare del movimento:

Cioè, il raggio del cerchio è proporzionale alla quantità di moto della particella e inversamente proporzionale alla grandezza della sua carica e del campo magnetico. Velocità angolare delle particelle

Il periodo in cui una particella carica si muove in un campo magnetico in un cerchio è uguale a circonferenza, diviso per la sua velocità lineare:

Questi risultati mostrano che la velocità angolare di una particella e il periodo di movimento circolare non dipendono dalla velocità lineare o dal raggio dell'orbita. La velocità angolare ω è spesso chiamata ciclotrone. frequenza (circolare), perché le particelle cariche circolano con esso in un tipo di acceleratore chiamato ciclotrone.

Moto di una particella ad angolo rispetto al vettore del campo magnetico

Se il vettore di velocità delle particelle v forma un angolo arbitrario rispetto al vettore B, allora la sua traiettoria è un'elica. Ad esempio, se un campo uniforme è diretto lungo l'asse x, come mostrato nella figura seguente, non vi è alcun componente della forza magnetica F _B in questa direzione. Di conseguenza, la componente di accelerazione è una _x = 0 e la componente x della velocità della particella è costante. Tuttavia, la forza magnetica F _B = qv x B causa una variazione temporale delle componenti di velocità v _y v _z . Di conseguenza, una particella carica si muove in un campo magnetico lungo un'elica, il cui asse è parallelo al campo magnetico. La proiezione della traiettoria sul piano yz (se visualizzata lungo l'asse x) è un cerchio. Le sue proiezioni sui piani xy e xz sono sinusoidi! Le equazioni del moto rimangono le stesse di un percorso circolare, a condizione che v sia sostituito da ν _⊥ = √ (ν _у ² + ν _z ² ).

Campo magnetico disomogeneo: come le particelle si muovono in esso

Il moto di una particella carica in un campo magnetico, che è disomogeneo, si verifica lungo traiettorie complesse. Quindi, in un campo la cui magnitudine è amplificata ai bordi della sua regione di esistenza e indebolita nel suo centro, come, per esempio, mostrato nella figura sotto, una particella può oscillare avanti e indietro tra i punti finali. La particella carica inizia ad un'estremità dell'elica, avvolta lungo le linee di forza, e si muove lungo di essa fino a raggiungere l'altra estremità, dove torna indietro. Questa configurazione è nota come "bottiglia magnetica" perché le particelle cariche possono essere intrappolate in essa. È stato usato per limitare il plasma, un gas costituito da ioni ed elettroni. Tale schema di confinamento del plasma può svolgere un ruolo chiave nel controllo della fusione nucleare, un processo che ci presenta una fonte di energia quasi infinita. Sfortunatamente, la "bottiglia magnetica" ha i suoi problemi. Se un gran numero di particelle viene intrappolato, le collisioni tra di loro fanno sì che fuoriescano dal sistema.

Come la Terra influenza il movimento delle particelle cosmiche

Le cinture near-Earth di Van Allen sono costituite da particelle cariche (principalmente elettroni e protoni) che circondano la Terra sotto forma di regioni toroidali (vedere la figura seguente). Il moto di una particella carica nel campo magnetico della Terra avviene in una spirale attorno alle linee di forza da un polo all'altro, coprendo questa distanza in pochi secondi. Queste particelle provengono principalmente dal Sole, ma alcune provengono da stelle e altri oggetti celesti. Per questo motivo, sono chiamati cosmici raggi. La maggior parte di loro devia Campo magnetico terrestre e non raggiunge mai l'atmosfera. Tuttavia, alcune delle particelle cadono nella trappola, sono loro che formano la cintura di Van Allen. Quando sono al di sopra dei poli, a volte entrano in collisione con gli atomi nell'atmosfera, a causa della quale emettono luce visibile. Quindi ci sono belle aurore negli emisferi settentrionale e meridionale. Tendono a verificarsi nelle regioni polari, perché è qui che le fasce di Van Allen si trovano più vicine alla superficie della Terra.

A volte, tuttavia, attività solare causa un maggior numero di particelle cariche che entrano in queste cinghie e distorce in modo significativo le normali linee di forza del campo magnetico associato alla Terra. In queste situazioni, l'aurora può talvolta essere vista a latitudini più basse.

Selettore di velocità

In molti esperimenti in cui il movimento delle particelle cariche si verifica in un campo magnetico uniforme, è importante che tutte le particelle si muovano alla stessa velocità. Questo può essere ottenuto applicando una combinazione di campo elettrico e campo magnetico, orientata come mostrato nella figura sottostante. Un campo elettrico omogeneo è diretto verticalmente verso il basso (nel piano della pagina), e lo stesso campo magnetico è applicato in una direzione perpendicolare a quella elettrica (per pagina). Per la q positiva, la forza magnetica F _B = qv x B è diretta verso l'alto e la forza elettrica qE è giù. Quando i valori di due campi sono scelti in modo che qE = qvB, la particella si muove in una linea retta orizzontale attraverso la regione del campo. Dall'espressione qE = qvB, troviamo che solo le particelle con una velocità v = E / B passano senza deviazioni attraverso campi elettrici e magnetici reciprocamente perpendicolari. La forza F _{B che} agisce sulle particelle che si muovono ad una velocità maggiore di v = E / B risulta essere più elettrica, e sono deviate verso l'alto. Quelli di loro che si muovono a una velocità inferiore si discostano verso il basso.

Spettrometro di massa

Questo dispositivo separa gli ioni in base al rapporto della loro massa da caricare. Secondo una versione di questo dispositivo, noto come spettrometro di massa Bainbridge, il raggio ionico passa prima attraverso il selettore di velocità e quindi entra nel secondo campo B ₀ , che è anche omogeneo e ha la stessa direzione del campo nel selettore (vedi figura sotto) . Dopo averlo inserito, il movimento di una particella carica in un campo magnetico in un semicerchio di raggio r prima dell'impatto nella lastra fotografica R. Se gli ioni sono caricati positivamente, il raggio devia verso l'alto, come mostrato nella figura. Se gli ioni sono caricati negativamente, il raggio si fletterà verso il basso. Dall'espressione per il raggio della traiettoria circolare della particella, possiamo trovare il rapporto m / q

e poi, usando l'equazione v = E / B, lo troviamo

Quindi, possiamo determinare m / q misurando il raggio di curvatura, conoscendo i campi di B, B ₀ ed E. In pratica, questo misura di solito le masse di vari isotopi di un dato ione, dato che portano tutte una carica q. Pertanto, il rapporto di massa può essere determinato anche se q è sconosciuto. Una variante di questo metodo fu usata da J.J. Thomson (1856-1940) nel 1897 per misurare il rapporto e / m _e per gli elettroni.

ciclotrone

Può accelerare le particelle cariche a velocità molto elevate. Entrambe le forze elettriche e magnetiche svolgono un ruolo chiave qui. Le particelle ad alta energia risultanti sono usate per bombardare i nuclei atomici e quindi produrre reazioni nucleari di interesse per i ricercatori. Un certo numero di ospedali utilizza attrezzature a ciclotrone per la produzione di sostanze radioattive per la diagnosi e il trattamento.

Una rappresentazione schematica del ciclotrone è mostrata in Fig. qui di seguito. Le particelle si muovono all'interno di due contenitori semicilindrici D 1 e D 2, chiamati seants. La differenza di potenziale variabile ad alta frequenza viene applicata ai punti separati da un gap, e il campo magnetico uniforme è diretto lungo l'asse del ciclotrone (il polo sud della sua sorgente non è mostrato nella figura).

Lo ione positivo rilasciato dalla sorgente al punto P vicino al centro del dispositivo nelle prime doppie mosse lungo una traiettoria semicircolare (mostrato da una linea rossa tratteggiata nella figura) e ritorna nello slot al tempo T / 2, dove T è il tempo di una rivoluzione completa all'interno di due duanti .

La frequenza della differenza di potenziale applicata è regolata in modo tale che le polarità dei dorsi siano invertite nel momento in cui lo ione esce da una dianth. Se la differenza di potenziale applicata viene regolata in modo tale che in questo momento D ₂ ottiene un potenziale elettrico inferiore a D ₁ di qΔV, allora lo ione viene accelerato nello spazio prima di entrare in D ₂ e la sua energia cinetica viene aumentata di qΔV. Quindi si muove attorno a D ₂ lungo una traiettoria semicircolare di un raggio più grande (poiché la sua velocità è aumentata).

Dopo un po 'di tempo T / 2, entra di nuovo nello spazio tra i due sean. A questo punto, le polarità dei duetti cambiano di nuovo, e un altro "colpo" viene dato allo ione attraverso lo spazio. Il movimento di una particella carica in un campo magnetico in una spirale continua, così che con ogni passaggio di un duant, lo ione ottiene un'energia cinetica addizionale pari a qΔV. Quando il raggio della sua traiettoria si avvicina al raggio dei punti, lo ione lascia il sistema attraverso la fessura di uscita. È importante notare che il lavoro del ciclotrone si basa sul fatto che T non dipende dalla velocità dello ione e dal raggio della traiettoria circolare. Possiamo ottenere un'espressione per energia cinetica quando lascia il ciclotrone, a seconda del raggio R dei dees. Sappiamo che la velocità di un movimento circolare di una particella è ν = qBR / m. Pertanto, la sua energia cinetica

Quando l'energia degli ioni nel ciclotrone supera circa 20 MeV, entrano in gioco effetti relativistici. Notiamo che T aumenta e che gli ioni in movimento non rimangono in fase con una differenza potenziale applicata. Alcuni acceleratori risolvono questo problema cambiando il periodo della differenza di potenziale applicata, in modo che rimanga in fase con gli ioni in movimento.

Effetto Hall

Quando un conduttore con una corrente è posto in un campo magnetico, viene creata un'ulteriore differenza di potenziale in una direzione perpendicolare alla direzione della corrente e del campo magnetico. Questo fenomeno, osservato per la prima volta da Edwin Hall (1855-1938) nel 1879, è noto come Hall. Si osserva sempre quando una particella carica si muove in un campo magnetico. Ciò porta ad una deflessione dei portatori di carica su un lato del conduttore a causa della forza magnetica che sperimentano. L'effetto Hall fornisce informazioni sul segno dei portatori di carica e sulla loro densità, può anche essere usato per misurare l'ampiezza dei campi magnetici.

Il dispositivo per osservare l'effetto Hall è costituito da un conduttore piatto con una corrente I nella direzione x, come mostrato nella figura seguente. Il campo omogeneo B viene applicato nella direzione y. Se i portatori di carica sono elettroni che si muovono lungo l'asse x con una velocità di deriva v _d , allora subiscono una forza magnetica diretta verso l'alto (tenendo conto della q negativa) F _B = qv _d x B, sono deviati verso l'alto e si accumulano sul bordo superiore del conduttore piatto, risultando in un eccesso di carica positiva appare sul bordo inferiore. Questo accumulo di carica ai bordi aumenta fino a quando la forza elettrica risultante dalla separazione della carica equilibra la forza magnetica che agisce sui trasportatori. Quando viene raggiunto questo equilibrio, gli elettroni non si spostano più verso l'alto. Un voltmetro sensibile o potenziometro collegato ai bordi superiore e inferiore del conduttore può misurare la differenza di potenziale nota come tensione Hall.