La superficie del prisma. L'area della base e della superficie laterale. L'area di base del prisma triangolare
Nella geometria spaziale, quando si risolvono i problemi con i prismi, c'è spesso un problema nel calcolare l'area dei lati o delle facce che formano queste forme tridimensionali. Questo articolo è dedicato alla questione di determinare l'area della base del prisma e la sua superficie laterale.
Figura del prisma
Prima di procedere alla considerazione delle formule per l'area di base e la superficie di un prisma di un tipo o dell'altro, è necessario capire quale figura in questione.
Un prisma in geometria è una figura spaziale composta da due poligoni paralleli, che sono uguali, e diversi quadrangoli o parallelogrammi. Il numero di quest'ultimo è sempre uguale al numero di vertici di un singolo poligono. Ad esempio, se una figura è formata da due n-goni paralleli, il numero di parallelogrammi sarà n.
Il parallelogramma che connette gli n-gons sono chiamati lati del prisma e la loro area totale è l'area della superficie laterale della figura. Gli stessi n-gons sono chiamati basi.
La figura sopra mostra un esempio di un prisma di carta. Il rettangolo giallo è la sua base superiore. Nel secondo si trova la stessa figura di terra. I rettangoli rosso e verde sono facce laterali.
Quali prismi ci sono?
Esistono diversi tipi di prismi. Tutti loro differiscono l'uno dall'altro da solo due parametri:
- tipo di n-gon, che forma la base;
- l'angolo tra il n-gon e le facce laterali.
Per esempio, se le basi sono triangoli, allora il prisma è chiamato triangolare, se i quadrilateri, come nella figura precedente, allora la figura è chiamata un prisma quadrangolare, e così via. Inoltre, il n-gon può essere convesso o concavo, quindi questa proprietà viene anche aggiunta al nome del prisma.
L'angolo tra le facce laterali e la base può essere rettilineo, affilato o smussato. Nel primo caso parlano di un prisma rettangolare, nel secondo - di un inclinato o obliquo.
In un tipo speciale di figure, si assegna il prisma corretto. Hanno la più alta simmetria tra gli altri prismi. Sarà corretto solo se è rettangolare e la sua base è un normale n-gon. La figura seguente mostra una serie di prismi corretti, in cui il numero di lati dell'n-gon varia da tre a otto.
Superficie del prisma
Sotto la superficie delle figure considerate di tipo arbitrario si comprende la totalità di tutti i punti che appartengono ai volti del prisma. La superficie del prisma è conveniente da studiare, considerando il suo sviluppo. Di seguito è riportato un esempio di tale sweep per un prisma triangolare.
Si vede che l'intera superficie è formata da due triangoli e tre rettangoli.
Nel caso di un prisma di tipo generale, la sua superficie sarà composta da due basi di n-carbone e n quadrilateri.
Consideriamo più in dettaglio la questione del calcolo della superficie dei prismi di diversi tipi.
L'area di base del prisma è corretta
Forse il compito più semplice quando si lavora con i prismi è il problema di trovare l'area della base della figura corretta. Poiché è formato da un n-gon, in cui tutti gli angoli e le lunghezze dei lati sono uguali, può sempre essere diviso in triangoli identici, in cui sono noti gli angoli e i lati. L'area totale dei triangoli sarà l'area del n-gon.
Un altro modo per determinare una porzione dell'area superficiale di un prisma (base) consiste nell'utilizzare una formula nota. Ha la seguente forma:
S n = n / 4 * a 2 * ctg (pi / n)
Cioè, l'area S n del n-gon è determinata in modo univoco dalla conoscenza della lunghezza del suo lato a. Alcune difficoltà nel calcolare con la formula possono essere il calcolo della cotangente, specialmente quando n> 4 (per n≤4, i valori della cotangente sono dati tabulari). Per determinare questa funzione trigonometrica, si consiglia di utilizzare una calcolatrice.
Quando si formula un problema geometrico, occorre prestare attenzione, poiché potrebbe essere necessario trovare l'area delle basi del prisma. Quindi il valore ottenuto dalla formula dovrebbe essere moltiplicato per due.
L'area di base del prisma triangolare
Usando l'esempio di un prisma triangolare, consideriamo come trovare l'area della base di questa figura.
Innanzitutto, considera il caso semplice: il prisma corretto. L'area della base viene calcolata utilizzando la formula fornita nel paragrafo precedente, è necessario sostituire n = 3 in essa. Otteniamo:
S 3 = 3/4 * a 2 * ctg (pi / 3) = 3/4 * a 2 * 1 / √3 = √ 3/4 * a 2
Resta da sostituire i valori concreti della lunghezza a del lato di un triangolo equilatero nell'espressione per ottenere l'area di una base.
Supponiamo ora che ci sia un prisma la cui base è un triangolo arbitrario. I suoi due lati, aeb, e l'angolo tra loro, α, sono noti. Questa figura è mostrata sotto.
Come in questo caso trovare l'area della base del prisma triangolare? Va ricordato che l'area di ogni triangolo è uguale alla metà del prodotto del lato e l'altezza abbassata su questo lato. La figura mostra l'altezza h sul lato b. La lunghezza h corrisponde al prodotto del seno dell'angolo alfa e la lunghezza del lato a. Quindi l'area dell'intero triangolo è uguale a:
S = 1/2 * b * h = 1/2 * b * a * sin (α)
Questa è l'area della base del prisma triangolare raffigurato.
Superficie laterale
Abbiamo risolto come trovare l'area della base del prisma. La superficie laterale di questa figura è sempre composta da parallelogrammi. Per i prismi diretti, i parallelogrammi diventano rettangoli, quindi la loro area totale è facile da calcolare:
S = Σ i = 1 n (a i * b)
Qui b è la lunghezza del bordo laterale, un i è la lunghezza del lato del rettangolo i-esimo, che coincide con la lunghezza del lato del n-gon. Nel caso di un prisma ad angolo n regolare, otteniamo una semplice espressione:
S = n * a * b
Se il prisma è inclinato, quindi per determinare l'area della sua superficie laterale, fare un taglio perpendicolare, calcolare il suo perimetro P sr e moltiplicarlo per la lunghezza del bordo laterale.
La figura sopra mostra come realizzare questa fetta per un prisma pentagonale inclinato.