Il volume del cono, il suo calcolo
La geometria come scienza si formò nell'antico Egitto e raggiunse un alto livello di sviluppo. Il famoso filosofo Platone fondò l'Accademia, dove fu prestata molta attenzione alla sistematizzazione delle conoscenze esistenti. Cono come uno di forme geometriche menzionato per la prima volta nel famoso trattato di Euclide "L'inizio". Euclide aveva familiarità con le opere di Platone. Ora poche persone sanno che la parola "cono" nella traduzione dal greco significa "pigna". Il matematico greco Euclide, che visse ad Alessandria, è considerato il fondatore dell'algebra geometrica. Gli antichi greci non solo divennero i successori della conoscenza degli egiziani, ma anche notevolmente ampliarono la teoria.
Storia di definizione del cono
La geometria come scienza emerse dalle esigenze pratiche di costruzione e osservazione della natura. Gradualmente, la conoscenza sperimentale fu generalizzata e le proprietà di alcuni corpi furono provate attraverso altre. Gli antichi greci hanno introdotto il concetto di assiomi e prove. Axiom è una dichiarazione ottenuta in modo pratico e che non richiede prove.
Nel suo libro, Euclide ha citato la definizione di un cono come una figura, ottenuta ruotando un triangolo rettangolo attorno a una delle gambe. Possiede anche il teorema principale, che determina il volume del cono. E questo teorema fu provato dall'antico matematico greco Eudosso di Cnido.
Un altro matematico dell'antica Grecia, Apollonio di Perg, che era uno studente di Euclide, sviluppò ed espose la teoria delle superfici coniche nei suoi libri. Appartiene alla definizione di una superficie conica e secante ad essa. Gli scolari dei nostri giorni studiano la geometria euclidea, che ha conservato i principali teoremi e definizioni fin dall'antichità.
Definizioni di base
Un cono circolare dritto è formato ruotando un triangolo rettangolo attorno a una singola gamba. Come si può vedere, il concetto di cono non è cambiato dai tempi di Euclide.
Hypotenusa AS triangolo rettangolo AOS, quando ruota intorno alla gamba del sistema operativo, forma la superficie laterale del cono, quindi si chiama generatrix. La gamba del sistema operativo del triangolo ruota simultaneamente all'altezza del cono e del suo asse. Il punto S diventa il vertice del cono. Catet AO, che descrive il cerchio (base), trasformato in un raggio del cono.
Se il piano viene disegnato dall'alto verso l'alto e l'asse del cono, allora puoi vedere che la sezione assiale risultante è un triangolo isoscele, in cui l'asse è l'altezza del triangolo.
Spesso è anche necessario calcolare la superficie laterale del corpo del giro. L'area della superficie laterale del cono è uguale al prodotto di metà della lunghezza della circonferenza della base e della generatrice del cono.
S = C * L / 2 = n * R * L / 2
dove C è la circonferenza di base, l è la lunghezza della generatrice del cono, R è il raggio di base.
La formula per calcolare il volume del cono
La seguente formula è utilizzata per calcolare il volume di un cono:
V = S * H / 3,
dove S è l'area della base del cono. Poiché la base è un cerchio, la sua area viene calcolata come segue:
S = nR 2 .
Segue:
V = n * R 2 * H / 3,
dove V è il volume del cono;
n è un numero uguale a 3,14;
R è il raggio di base corrispondente al segmento AO di Figura 1;
H - altezza uguale al segmento OS.
Volume del cono troncato
C'è un cono circolare dritto. Se il piano perpendicolare all'altezza, taglia la parte superiore, si ottiene un cono troncato. Le sue due basi sono di forma circolare con raggi R 1 e R 2 .
R 1 = A;
R 2 = B;
H = H.
Se un cono diritto viene formato ruotando un triangolo rettangolo, il cono troncato ruota. trapezio rettangolare intorno al lato dritto.
Il volume del cono troncato viene calcolato dalla seguente formula:
V = n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2 ) * H / 3.
Cono e la sua sezione in aereo
Il matematico greco antico del Perù Apollonio di Pergskii appartiene all'opera teorica "Sezione conica". Grazie al suo lavoro in geometria, apparvero le definizioni delle curve: parabole, ellissi, iperboli. Considera, ed ecco un cono.
Prendi un cono circolare dritto. Se l'aereo lo interseca perpendicolare all'asse, nella sezione viene formato un cerchio. Quando la secante incrocia il cono con un angolo rispetto all'asse, si ottiene un'ellisse nella sezione.
Il piano secante perpendicolare alla base e parallelo all'asse del cono forma un'iperbole sulla superficie. Un piano che taglia il cono ad un angolo rispetto alla base ed è parallelo alla tangente al cono crea una curva sulla superficie, che viene chiamata una parabola.
Problem solving
Anche il semplice compito di come fare un secchio di un certo volume richiede conoscenza. Ad esempio, è necessario calcolare la dimensione del secchio in modo che abbia un volume di 10 litri.
data:
V = 10 l = 10 dm 3 ;
R 1 = 15 cm;
R 2 = 25 cm.
Una scansione del cono ha la forma schematicamente mostrata nella Figura 3.
L - formare un cono.
Per scoprire la superficie del bucket, che viene calcolata con la seguente formula:
S = n * (R 1 + R 2 ) * L,
è necessario calcolare il generatore. Lo troviamo dal volume V = n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2 ) * H / 3.
Quindi, H = 3V / n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2 ).
Un cono tronco è formato ruotando un trapezio rettangolare, nel quale il lato laterale forma un cono.
L 2 = (R 2- R 1 ) 2 + H 2 .
Ora abbiamo tutti i dati per costruire un bucket di disegno.
Perché i secchi di fuoco hanno la forma di un cono?
Chi ha pensato, perché i secchi di fuoco hanno una forma conica apparentemente strana? E questo non è solo. Si scopre che un secchio conico per estinguere un incendio presenta molti vantaggi rispetto a una forma tronco conica convenzionale.
Innanzitutto, a quanto pare, il secchio di fuoco viene riempito d'acqua più velocemente e non si rovescia quando viene trasportato. Un cono più grande di un normale secchio alla volta consente di trasferire più acqua.
In secondo luogo, l'acqua da esso può essere lanciata a una distanza maggiore rispetto a un normale secchio.
Terzo, se il secchio conico si libera dalle mani e cade nel fuoco, tutta l'acqua viene versata sulla fonte di fuoco.
Tutti questi fattori possono far risparmiare tempo: il principale fattore di estinzione di un incendio.
Applicazione pratica
Gli scolari hanno spesso una domanda sul perché dovrebbero imparare come calcolare il volume di vari corpi geometrici, incluso il cono.
E i progettisti sono costantemente confrontati con la necessità di calcolare il volume delle parti coniche delle parti dei meccanismi. Questi sono punte di trapani, parti di tornitura e fresatrici. La forma del cono consentirà alle frese di entrare facilmente nel materiale, senza richiedere l'imbastitura iniziale con uno strumento speciale.
Il volume del cono ha un cumulo di sabbia o terra, versato a terra. Se necessario, eseguendo semplici misurazioni, è possibile calcolarne il volume. Alcuni saranno confusi dalla domanda su come scoprire il raggio e l'altezza del cumulo di sabbia. Armato con un metro a nastro, misurare la circonferenza della collinetta C. Con la formula R = C / 2n, impariamo il raggio. Lanciare una corda (metro a nastro) sopra la parte superiore, troviamo la lunghezza del generatore. E calcola l'altezza del teorema di Pitagora e il volume non è difficile. Naturalmente, un tale calcolo è approssimativo, ma ti permette di determinare se non ti hai ingannato portando una tonnellata di sabbia invece di un cubo.
Alcuni edifici hanno la forma di un tronco di cono. Ad esempio, la torre televisiva Ostankino si avvicina a una forma conica. Può essere rappresentato come composto da due coni posti l'uno sull'altro. Le cupole di antichi castelli e cattedrali sono un cono, il cui volume degli antichi architetti calcolato con sorprendente precisione.
Se guardi da vicino gli oggetti circostanti, molti di loro sono coni:
- lattine ad imbuto per versare liquidi;
- altoparlante a tromba;
- coni di parcheggio;
- paralume per la lampada da terra;
- albero di Natale familiare;
- strumenti a fiato.
Come si può vedere dagli esempi sopra, la capacità di calcolare il volume del cono, l'area della sua superficie è necessaria nella vita professionale e quotidiana. Speriamo che l'articolo venga in tuo aiuto.