Che cos'è un predicato: definizione ed esempi

Cos'è un predicato? Questa parola si trova in linguistica, matematica, filosofia e programmazione. Ma non può essere che in queste scienze così diverse questa parola abbia lo stesso significato? La logica matematica dà la sua interpretazione speciale di questo termine. Iniziamo con questo.

Predicato in matematica

Nella logica matematica, un predicato è generalmente inteso come una funzione P: X → {true, false}, chiamato predicate X. Tuttavia, i predicati hanno molte applicazioni e interpretazioni diverse in matematica e logica, e la loro esatta definizione, significato e uso varieranno da teoria a teoria. Quindi, per esempio, se una teoria definisce il concetto di una relazione, allora il predicato è semplicemente una funzione caratteristica, altrimenti nota come la funzione di indicatore di una relazione. Tuttavia, non tutte le teorie sono correlate o basate sulla teoria degli insiemi, quindi è necessario fare attenzione con la definizione corretta e l'interpretazione semantica del predicato.

Vero o falso

Se ancora non capisci cosa sia un predicato in matematica, allora vale la pena soffermarsi su questo in maggior dettaglio. Informalmente, un predicato è un'affermazione che può essere vera o falsa, a seconda dei valori delle sue variabili. Può essere pensato come un operatore o una funzione che restituisce un valore vero o falso. Ad esempio, i predicati vengono talvolta usati per specificare un insieme di elementi: quando si parla di insiemi, a volte è scomodo o impossibile descrivere un insieme elencando tutti i suoi elementi. Pertanto, il predicato P (x) sarà vero o falso, a seconda che x appartenga all'insieme.

Proprietà dell'oggetto

I predicati in logica matematica sono anche ampiamente usati per parlare delle proprietà degli oggetti, definendo un insieme di tutti gli oggetti che hanno una proprietà comune. Quindi, per esempio, quando P è un predicato di X, a volte si può dire che P è una proprietà di X. Analogamente, la notazione P (x) è usata per denotare una frase o un'istruzione di P relativa ad un oggetto della variabile X. L'insieme definito da P (x) è scritto come { x | P (x)} ed è l'insieme di oggetti per cui P è vero.

Ad esempio, {x | x è un numero intero positivo minore di 4} è l'insieme {1,2,3}.

Se t è un elemento dell'insieme {x | P (x)}, quindi l'affermazione P (t) è vera.

Qui, P (x) è chiamato predicato e x è un segnaposto. A volte P (x) è anche chiamata funzione proposizionale, poiché ogni scelta con X crea una frase.

Una semplice forma del predicato (P) è un'espressione booleana, e in questo caso, gli input per l'espressione sono essi stessi valori combinati usando operazioni booleane. Un'espressione booleana con un insieme di verità predicate è un fenomeno più complesso.

Definizione formale

• L'esatta interpretazione semantica della formula atomica e della frase atomica varierà da teoria a teoria.
• Nella logica proposizionale, le formule atomiche sono chiamate variabili proposizionali. In un certo senso, si tratta di predicati con valori zero.
• Nella logica del primo ordine, una formula atomica consiste in un simbolo di predicato applicato al numero corrispondente di membri.
• Nella teoria degli insiemi, i predicati sono intesi come funzioni caratteristiche o definiscono le funzioni di un indicatore, cioè le funzioni da un determinato elemento al valore della verità.
• Il metodo di costruzione dei tipi di sentenze utilizza i predicati per determinarli.
• Nella logica auto-epistemica, che rifiuta la legge del medio escluso, i predicati possono essere veri, falsi o semplicemente sconosciuti, cioè questo insieme di fatti potrebbe non essere sufficiente per determinare la verità o la falsità di un predicato.
• Nella logica fuzzy, i predicati sono funzioni caratteristiche della distribuzione di probabilità. Cioè, la rigorosa stima vero / falso del predicato è sostituita da un valore interpretato come il grado di verità.

Prologo di grammatica

Esistono due concetti di predicato concorrenti nelle teorie grammaticali. La competizione tra questi due concetti ha creato confusione sull'uso del termine "predicato" nelle teorie grammaticali. Allora, qual è un predicato? Questo articolo copre entrambi questi concetti.

Il primo concetto si riferisce alla grammatica tradizionale, che tende a considerare il predicato come una delle due parti principali della frase, l'altra parte è il soggetto. Lo scopo del predicato è completare l'idea del soggetto, ad esempio, cosa fa o cosa è.

Il secondo concetto derivava dal lavoro nel calcolo dei predicati (logica dei predicati, logica del primo ordine) ed è prominente nelle moderne teorie di sintassi e grammatica. In questo approccio, il predicato della frase corrisponde fondamentalmente al verbo principale e qualsiasi mezzo ausiliario che accompagna il verbo principale. Allo stesso tempo, i suoi argomenti (per esempio, le frasi nominali) sono al di fuori del predicato.

Nella grammatica tradizionale

Il concetto di P nella grammatica tradizionale si ispira alla logica proposizionale dell'antichità (in contrapposizione alla logica più moderna dei predicati). Il predicato è considerato come una proprietà che il soggetto ha. Pertanto, il predicato è un'espressione che può essere vera. Pertanto, l'espressione "muove" è vera per tutto ciò che si muove. Questo dà una risposta alla domanda che cos'è un predicato.

Una tale comprensione classica dei predicati è stata presa più o meno direttamente nelle grammatiche latine e greche, e da lì è caduta nella grammatica delle lingue inglese e russa, dove è applicata direttamente all'analisi della struttura di una frase. Questa comprensione di P è anche usata nei dizionari di lingua inglese.

Soggetto e predicato

Il predicato è una delle due parti principali della frase (l'altro è il soggetto che il predicato modifica). Deve contenere un verbo e il verbo richiede o consente ad altri elementi di compilare il predicato.

Il predicato fornisce informazioni sull'argomento: cosa è, cosa fa il soggetto o cosa è l'oggetto. La connessione tra il soggetto e il suo predicato è talvolta chiamata la lingua dei predicati. Il suo valore nominale è una frase nominale. Ad esempio, nella frase "Giorgio III - Re d'Inghilterra", il Re d'Inghilterra è un nominale nominale. Il soggetto e il valore predicativo devono essere collegati da un verbo di collegamento, chiamato anche copula. Anche il soggetto e l'aggettivo predicativo devono essere legati insieme.

Nella sintassi

La P sintattica indica la validità sintattica dell'uso del lavoro nella grammatica formale ed è simile al predicato semantico, che determina la realtà semantica dell'applicazione del lavoro. Nella loro implementazione iniziale, i predicati sintattici avevano la forma "(α)?" E potevano apparire solo sul lato sinistro del lavoro. Una condizione sintattica necessaria α può essere qualsiasi frammento di grammatica valido senza contesto.

Più formalmente, il predicato sintattico è una forma di intersezione della produzione usata nelle specifiche del parser o in grammatiche formali. In questo senso, il termine ha il significato della funzione matematica dell'indicatore. Se p1 e p2 sono regole di produzione, la lingua generata da p1 e p2 è la loro intersezione data.

Reflective Grammar Expressions (PEG), inventato da Brian Ford, estende questi semplici P, consentendo loro di apparire ovunque all'interno della produzione insieme a "non-predicati". Inoltre, Ford ha inventato una procedura di analisi per l'elaborazione di queste grammatiche in tempo lineare.

Questo approccio è implementato in ANTLR versione 3, che utilizza macchine a stati deterministici per la visualizzazione. Ciò potrebbe richiedere la verifica di un predicato per la scelta tra le transizioni sintattiche (il cosiddetto parsing "pre-LL (*)").

Nelle moderne teorie sulla sintassi

Le più moderne teorie di sintassi e grammatica hanno origine nella teoria del calcolo dei predicati associato a Gottlob Frege. Questa comprensione vede i predicati come relazioni o funzioni che stanno al di sopra degli argomenti. Vengono utilizzati per assegnare una proprietà a un argomento o per collegare due o più argomenti tra loro. Le proposte consistono in predicati e argomenti (e aggiunte) e sono, quindi, strutture dell'argomento predicato. Secondo loro, questa P è considerata come un collegamento tra i suoi argomenti e una struttura più ampia.

I predicati sono posizionati a sinistra al di fuori delle parentesi, mentre i loro argomenti sono posizionati all'interno delle parentesi. Si riconosce la valenza del predicato, secondo la quale può essere disponibile (non mostrata), monovalente, bivalente o trivalente. Questi tipi di rappresentazioni sono simili alle analisi semantiche formali, dove stiamo parlando di una corretta contabilità per i fatti dei quantificatori e degli operatori logici. Tuttavia, per quanto riguarda la struttura di base della frase, queste idee presuppongono innanzitutto che i verbi sono predicati, e le frasi nominali con cui appaiono sono i loro argomenti. Con questa comprensione della frase, una divisione binaria della frase nel soggetto NP e il predicato VP è appena possibile. Invece, il verbo è un predicato, e i sostantivi sono i suoi argomenti.

Nella logica

La logica del primo ordine, nota anche come calcolo del predicato del primo ordine e logica del predicato, è un insieme di sistemi formali usati in matematica, filosofia, linguistica e informatica. La logica del primo ordine utilizza le variabili quantizzate sugli oggetti e consente l'uso di frasi contenenti variabili. Questo lo distingue dalla logica proposizionale, che non usa quantificatori o relazioni.

Logica del primo ordine

Tali teorie, di norma, fanno parte della logica del primo ordine, insieme a una certa area del discorso, in cui variano le variabili quantificate. A volte la teoria è intesa in senso più formale, e questo è solo un insieme di frasi nella logica del primo ordine.

Gli aggettivi usati distinguono la logica del primo ordine dalla logica di ordine superiore, in cui ci sono, avendo definito predicati o funzioni come argomenti, o in cui uno o entrambi i quantificatori di predicato o quantificatori di funzione sono consentiti. Nelle teorie del primo ordine, i predicati sono spesso associati a insiemi. Nelle teorie interpretabili di ordine superiore, possono essere interpretate come insiemi. Qualcosa di simile è usato nella definizione di un predicato in programmazione. Questo non è sorprendente, perché la matematica è diventata una sorta di materia prima per questa scienza.

Parte teorica

Esistono molti sistemi deduttivi per i tipi di giudizi e la logica del primo ordine, che sono entrambi solidi (tutte le dichiarazioni dimostrabili sono vere in tutti i modelli) e complete (affermazioni che sono vere per tutti i modelli sono dimostrabili). Sebbene la relazione della conseguenza logica sia solo per metà solubile, in un teorema automatizzato dimostrato nella logica del primo ordine, sono stati compiuti progressi significativi. La logica del primo ordine soddisfa anche diversi teoremi metalografici che la rendono adatta per l'analisi nella teoria della dimostrazione, come il teorema di Levenheim-Skolem e il teorema di compattezza.

La logica del primo ordine è lo standard per la formalizzazione della matematica negli assiomi ed è studiata nei fondamenti della matematica. L'aritmetica di Peano e la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel sono assiomatizzazioni della teoria dei numeri e la teoria degli insiemi, rispettivamente, fanno parte della logica del primo ordine. Tuttavia, una teoria del primo ordine non ha la capacità di descrivere in modo univoco una struttura con una regione infinita, per esempio numeri naturali. I sistemi di assiomi che descrivono completamente queste due strutture (cioè i sistemi assiomi categoriali) possono essere ottenuti in forme più forti di logica, come la logica del secondo ordine.

I fondamenti della logica del primo ordine furono sviluppati indipendentemente da Gottlob Frege e Charles Sanders Pierce.