Progressione algebrica: formule ed esempi di soluzioni

12/05/2019

Questo articolo discuterà la progressione algebrica, le formule necessarie per risolvere i problemi con la sua partecipazione, così come alcuni esempi del loro uso. Per completezza, parleremo brevemente di un altro tipo di progressione: geometrica.

Il concetto di progressione algebrica

Membri della progressione aritmetica

Ogni serie di numeri ordinata secondo una certa legge può essere definita progressione. I più popolari e usati per risolvere problemi pratici sono due tipi di tali serie: algebriche e progressione geometrica. Considera il primo di essi in maggior dettaglio.

L'algebrica viene spesso definita una progressione aritmetica. Matematicamente, significa quanto segue:

a n = a n-1 + d

Cioè, stiamo parlando di una tale sequenza numerica in cui uno qualsiasi dei suoi membri differisce dal precedente o dal successivo per lo stesso numero d. Questo numero è chiamato la differenza (può essere determinato trovando la differenza tra due elementi adiacenti della progressione).

Secondo questa definizione, la progressione in esame ha un inizio, ma non una fine. Inizia sempre con il termine a 1 (qualsiasi numero reale), quindi procede sommando questo membro con la differenza d. Di conseguenza, può essere infinitamente crescente (d> 0) o decrescente (d <0). La situazione in cui d = 0 può anche essere considerata come un caso speciale di una progressione aritmetica rappresentata da una sequenza infinita di numeri identici.

Formula per trovare un membro arbitrario

Come spiegato sopra, il tipo di progressione considerato è determinato in modo univoco dal suo primo elemento e differenza, tuttavia questa regola si applica a qualsiasi altro valore. Ad esempio, la conoscenza di due elementi arbitrari o di un elemento e la somma di un certo numero di membri determina in modo univoco la progressione.

Per calcolare l'ennesimo elemento, puoi utilizzare correttamente la seguente formula:

a n = a 1 + (n - 1) * d

L'ovvietà della validità di questa espressione è fuori dubbio, e tutti possono verificarlo sostituendo piccoli valori di n.

Formula per l'ennesimo membro

Formula per ripristinare la progressione di due elementi noti

Nel corso di algebra della scuola, tali problemi sono tipici di una progressione: ci sono due elementi a n ed a m , e n> m, è necessario costruire l'intera progressione su di essi.

Questo problema viene risolto utilizzando la formula per l'ennesimo membro. Scriviamo due espressioni corrispondenti:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Trova la differenza tra il primo e il secondo (il segno di uguaglianza è preservato):

a n - a m = (n - m) * d =>

d = (a n - a m ) / (n - m)

Vediamo quanto sia facile trovare la differenza di una progressione, se due dei suoi membri sono noti: per fare ciò, sottrarre quello più piccolo da quello più grande in ordine, e quindi dividere la differenza risultante dalla differenza dei loro numeri di sequenza.

Una volta trovata la differenza, è facile calcolare il primo termine (per fare ciò, utilizzare una delle due prime espressioni).

La somma della progressione algebrica

Un'altra serie di compiti tipici per la progressione è trovare la somma dei loro membri. La seguente è la formula della somma di progressione algebrica corrispondente:

S n = Σ i = 1 n (a i ) = n * (a 1 + a n ) / 2

Cioè, per determinare la somma dei primi termini di n, si dovrebbe calcolare la somma di solo due di essi (il primo e l'ennesimo), moltiplicarlo per il numero di membri n e dividere il risultato a metà.

Omettiamo la dimostrazione matematica di questa espressione, ma diamo comunque una prova logica. Si può notare che, in considerazione della proprietà del tipo considerato di progressione, la seguente uguaglianza tiene sempre:

a 1 + a n = a 2 + a n-1

Infatti, il secondo termine è maggiore del primo per d, ma per lo stesso penultimo (un n-1 ) è minore dell'ultimo (un n ). Nel caso di una coppia di elementi, otteniamo esattamente la metà di tali somme dal numero totale di elementi (n / 2), da cui segue la formula ridotta per S n .

Karl Gauss

Si ritiene che la nota caratteristica della progressione aritmetica sia stata stabilita per la prima volta da Karl Gauss, un famoso matematico della fine del XVIII - prima metà del 19 ° secolo, quando nella sua mente per diversi secondi calcolò la somma dei numeri naturali da uno a 100.

Esempi di risoluzione dei problemi

Progressione aritmetica e domino

Considera due esempi di una progressione algebrica.

1. È noto che il 9 ° termine è 7, e il 21 ° è 51. È necessario trovare i primi 5 membri di questa progressione aritmetica.

La condizione del problema ci consente di calcolare immediatamente la differenza d, applicando la formula con un n ed un m , che è scritto sopra. Abbiamo:

d = (a n - a m ) / (n - m) = (51 - 7) / (21 - 9) = 3,667

Al ricevimento della differenza d, abbiamo eseguito arrotondamenti a 3 posizioni decimali.

Ora puoi calcolare il primo elemento della serie. Per fare ciò, utilizzare i dati per 9 membri:

a 9 = a 1 + d * 8 => a 1 = a 9 - d * 8 = 7 - 3,667 * 8 = -22,336

Per risolvere il problema, resta da fare l'ultimo passo: aggiungere successivamente 4 volte il valore di d al primo elemento. Otteniamo:

a 1 = -22,336;

a 2 = -22.336 + 3.667 = -18.669;

a 3 = -18,669 + 3,677 = -15,002;

a 4 = -15,002 + 3,667 = -11,335;

a 5 = -11.335 + 3.667 = -7.668

Ricorda che tutti i valori calcolati sono validi fino alla terza cifra decimale.

2. I lavoratori hanno piegato i tronchi degli alberi segati sotto forma di piramide. È noto che hanno depositato solo 33 registri e mancavano solo 3 ceppi fino alla fine della piramide. È necessario determinare quante righe di log hanno depositato i lavoratori.

La risposta a questa domanda è di risolvere la progressione algebrica, ma per procedere ad essa, è necessario affrontare attentamente questa condizione.

Innanzitutto, poiché i log si sommano alla piramide, significa che c'era un altro log in ogni riga precedente, cioè d = 1. In secondo luogo, se è noto che mancavano solo 3 log prima che la piramide fosse completata, quindi le due righe superiori rimanevano vuoto:

a 1 = 1, a 2 = a 1 + d = 2, a 1 + a 2 = 3

Prendiamo in considerazione questi tre registri, aggiungendoli ai 33 già piegati e determinando il numero sconosciuto di righe n utilizzando le formule per la somma e l'ennesimo membro:

S n = n * (a 1 + a n ) / 2; a n = a 1 + d * (n - 1) =>

S n = n * (a 1 + a 1 + d * (n - 1)) / 2 = (2 * a 1 - d) / 2 * n + d * n 2/2

Sostituiamo i dati noti nell'ultima uguaglianza e risolviamo l'equazione quadratica ottenuta per n:

36 = 0,5 * n + 0,5 * n 2 o

n 2 + n - 72 = 0

Discriminante: D = 1 - 4 * 1 * (-72) = 289

Radici: n = (-1 ± 17) / 2 = (8; -9)

Rifiuteremo immediatamente il valore negativo, poiché contraddice la condizione del problema. Quindi, le 8 file della piramide conterranno 36 log. Poiché i lavoratori non hanno completato le due righe superiori, significa che hanno solo aggiunto 6 righe di log.

Alcune parole sulla progressione del geometrico

La progressione algebrica e geometrica, di norma, viene considerata nell'ambito di un tema, quindi è utile dare un'idea del secondo tipo di serie di numeri ordinati. Quindi, una progressione geometrica è una serie di numeri che obbediscono alla legge:

a n = a n-1 * r

Cioè, a differenza dell'aritmetica, qui per ottenere tutti gli elementi, non devi aggiungere un numero, ma moltiplicarlo per questo (r è chiamato denominatore).

Dalla definizione è chiaro che la progressione geometrica cresce (diminuisce) molto più velocemente di quella aritmetica.

Aumento della progressione geometrica

Viene spesso utilizzato in geometria, ad esempio, quando si calcolano le aree delle figure utilizzando la loro divisione in elementi separati (il metodo di divisione a metà).