Esempi di come calcolare l'area del cilindro
Ci sono un gran numero di compiti relativi al cilindro. Hanno bisogno di trovare il raggio e l'altezza del corpo o il tipo della sua sezione trasversale. Inoltre, a volte è necessario calcolare l'area del cilindro e il suo volume.
Quale corpo è un cilindro?
Nel corso della scuola il curriculum è studiato circolare, cioè, essendo tale alla base, il cilindro. Ma c'è anche una visione ellittica di questa figura. Dal titolo è chiaro che la sua base sarà un'ellisse o ovale.
Ci sono due basi del cilindro. Sono uguali tra loro e sono collegati da segmenti che combinano i corrispondenti punti delle basi. Sono chiamati generatori di cilindri. Tutti i generatori sono paralleli tra loro e uguali. Costituiscono la superficie laterale del corpo.
In generale, un cilindro è un corpo inclinato. Se i generatori formano un angolo retto con le basi, allora parlano già di una figura dritta.
È interessante notare che il cilindro circolare è un corpo rotante. Si ottiene girando il rettangolo attorno a uno dei suoi lati.
Gli elementi principali del cilindro
Gli elementi principali del cilindro sono i seguenti.
- Altezza. È la distanza più breve tra le basi del cilindro. Se è dritto, l'altezza coincide con la generatrice.
- Radius. Coincide con quello che può essere tenuto alla base.
- Axis. Questa è una linea retta che contiene i centri di entrambe le basi. L'asse è sempre parallelo a tutti i generatori. Nel cilindro dritto, è perpendicolare alle basi.
- Sezione assiale È formato all'intersezione del cilindro dal piano contenente l'asse.
- Piano tangente Passa attraverso uno dei generatori ed è perpendicolare alla sezione assiale che viene disegnata attraverso questo generatore.
In che modo il cilindro è collegato al prisma inscritto in esso o descritto vicino ad esso?
A volte ci sono compiti in cui è necessario calcolare l'area di un cilindro, mentre alcuni elementi del prisma associato sono noti. Come si riferiscono queste cifre?
Se il prisma è inscritto in un cilindro, le sue basi sono poligoni uguali. E sono inscritti nella corrispondente base del cilindro. I bordi laterali del prisma coincidono con i generatori.
Al prisma descritto nelle basi ci sono poligoni regolari. Sono descritti attorno ai cerchi dei cilindri, che sono le sue basi. Gli aerei che contengono le facce di un prisma toccano il cilindro lungo i generatori.
Sull'area della superficie laterale e base per un cilindro circolare dritto
Se si scansiona la superficie laterale, si ottiene un rettangolo. I suoi lati coincideranno con il generatore e circonferenza base. Pertanto, l'area laterale del cilindro sarà uguale al prodotto di queste due quantità. Se scrivi la formula, ottieni quanto segue:
Lato S = l * n,
dove n è il generatore, l è la lunghezza del cerchio.
E l'ultimo parametro è calcolato dalla formula:
l = 2 π * r,
qui r è il raggio del cerchio, π è il numero "pi", uguale a 3.14.
Poiché la base è un cerchio, la sua area viene calcolata usando la seguente espressione:
S primario = π * r 2 .
Sulla superficie dell'intera superficie di un cilindro circolare dritto
Poiché è formato da due basi e una superficie laterale, queste tre quantità devono essere aggiunte. Cioè, l'area totale del cilindro sarà calcolata dalla formula:
S floor = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .
Spesso è scritto in un'altra forma:
S floor = 2 π * r (n + r).
Sulle aree di un cilindro circolare inclinato
Per quanto riguarda i motivi, quindi tutte le formule sono uguali lì, perché sono ancora cerchi. Ma la superficie laterale non dà un rettangolo.
Per calcolare l'area della superficie laterale del cilindro inclinato, sarà necessario moltiplicare i valori del generatore e del perimetro della sezione, che sarà perpendicolare al generatore selezionato.
La formula ha questo aspetto:
Lato S = x * P,
dove x - la lunghezza del cilindro del generatore, P - il perimetro della sezione.
La sezione, a proposito, è meglio scegliere tale che formi un'ellisse. Quindi i calcoli del suo perimetro saranno semplificati. La lunghezza dell'ellisse è calcolata dalla formula, che fornisce una risposta approssimativa. Ma spesso è sufficiente per le attività scolastiche:
l = π * (a + c),
dove "a" e "b" sono i semiassi dell'ellisse, cioè la distanza dal centro ai punti più vicini e più lontani.
L'area dell'intera superficie deve essere calcolata utilizzando la seguente espressione:
S floor = 2 π * r 2 + x * R.
Quali sono alcune sezioni di un cilindro circolare dritto?
Quando una sezione passa attraverso un asse, la sua area viene definita come il prodotto del generatore e il diametro della base. Ciò è dovuto al fatto che ha la forma di un rettangolo, i cui lati coincidono con gli elementi indicati.
Per trovare l'area della sezione trasversale di un cilindro che è parallela a quella assiale, abbiamo anche bisogno di una formula per un rettangolo. In questa situazione, una parte coinciderà ancora con l'altezza, e l'altra è uguale all'accordo della base. Quest'ultimo coincide con la linea di sezione lungo la base.
Quando la sezione è perpendicolare all'asse, ha la forma di un cerchio. Inoltre, la sua area è la stessa della base della figura.
Forse anche l'intersezione con un certo angolo rispetto all'asse. Quindi, nella sezione trasversale, si ottiene un ovale o la sua parte.
Esempi di compiti
Task numero 1. Viene dato un cilindro dritto, la cui area di base è 12,56 cm 2 . È necessario calcolare l'area totale del cilindro se la sua altezza è di 3 cm.
La decisione È necessario utilizzare la formula per l'intera area di un cilindro cilindrico circolare. Ma manca di dati, cioè il raggio della base. Ma l'area del cerchio è conosciuta. Da esso è facile calcolare il raggio.
È uguale alla radice quadrata del quoziente, che si ottiene dividendo l'area della base di pi. Dopo aver diviso 12.56 per 3.14 esce 4. La radice quadrata di 4 è 2. Pertanto, il raggio avrà proprio quel valore.
Ora puoi calcolare l'area della superficie laterale. Per fare questo, moltiplica pi per raggio, altezza e 2. Il lavoro sarà simile a questo: 3.14 * 3 * 2 * 2. Il risultato dell'azione è: 37,68 cm 2 .
Per contare l'area totale è necessario aggiungere due basi (12,56 cm 2 ) e una superficie laterale (37,68 cm 2 ). Il risultato è il numero di 50,24 cm 2 .
Risposta: genere S = 50,24 cm 2 .
Task numero 2. Un cilindro con un raggio di 5 cm viene soppresso da un piano parallelo all'asse. La distanza dalla sezione all'asse è di 3 cm. L'altezza del cilindro è di 4 cm. È necessario trovare l'area della sezione.
La decisione La forma della sezione è rettangolare. Un lato di esso coincide con l'altezza del cilindro, e l'altro è uguale all'accordo. Se il primo valore è noto, allora il secondo deve essere trovato.
Per fare ciò, crea una costruzione aggiuntiva. Alla base facciamo due segmenti. Entrambi inizieranno al centro del cerchio. Il primo terminerà al centro della corda e sarà uguale alla distanza nota rispetto all'asse. Il secondo è alla fine dell'accordo.
avere successo triangolo rettangolo. È noto l'ipotenusa e una delle gambe. L'ipotenusa coincide con il raggio. La seconda tappa è metà dell'accordo. La gamba sconosciuta, moltiplicata per 2, darà la lunghezza desiderata dell'accordo. Calcoliamo il suo valore.
Per trovare una gamba sconosciuta, devi quadrare l'ipotenusa e la gamba conosciuta, sottrarre la seconda dalla prima e prendere la radice quadrata. I quadrati sono 25 e 9. La loro differenza è 16. Dopo l'estrazione radice quadrata 4. Questa è la gamba desiderata.
Chord sarà uguale a 4 * 2 = 8 (cm). Ora puoi calcolare l'area della sezione trasversale: 8 * 4 = 32 (cm 2 ).
Risposta: S Sich è 32 cm 2 .
Task numero 3. È necessario calcolare la sezione assiale del cilindro. È noto che in esso è inciso un cubo con un bordo di 10 cm.
La decisione La sezione assiale del cilindro coincide con un rettangolo che passa attraverso i quattro vertici del cubo e contiene le diagonali delle sue basi. Il lato del cubo è un generatore del cilindro e la diagonale della base coincide con il diametro. Il prodotto di queste due quantità dà l'area da riconoscere nel problema.
Per trovare il diametro è necessario utilizzare la conoscenza che alla base del cubo è un quadrato, e la sua diagonale forma un triangolo rettangolo equilatero. La sua ipotenusa è la forma diagonale desiderata.
Per calcolarlo, hai bisogno della formula del teorema di Pitagora. È necessario quadrare il lato del cubo, moltiplicarlo per 2 ed estrarre la radice quadrata. Dieci al secondo grado è un centinaio. Moltiplicato per 2 - duecento. La radice quadrata di 200 è 10√2.
La sezione è di nuovo un rettangolo con i lati 10 e 10√2. La sua area è facile da contare moltiplicando questi valori.
La risposta è S sech = 100√2 cm 2 .