Equazioni lineari: formule ed esempi. Disuguaglianze e loro soluzione

11/06/2019

Imparare a risolvere le equazioni è uno dei compiti principali che l'algebra pone agli studenti. A partire dal più semplice, quando si tratta di uno sconosciuto e passando a qualcosa di sempre più complesso. Se le azioni che devono essere eseguite con le equazioni del primo gruppo non sono comprese, sarà difficile trattare con gli altri.

Per continuare la conversazione è necessario concordare la notazione.

Nome del valore La sua designazione
variabile x, y
qualsiasi numero a, b, c

Vista generale di un'equazione lineare con uno sconosciuto e il principio della sua soluzione

Qualsiasi equazione che può portare a un record di questo tipo:

a * x = in ,

chiamato lineare . Questa è una formula generale. Ma spesso nelle assegnazioni, le equazioni lineari sono scritte implicitamente. Quindi è necessario eseguire trasformazioni identiche per ottenere il record generalmente accettato. Queste azioni includono:

  • parentesi di apertura;
  • spostando tutti i termini con la variabile sul lato sinistro dell'equazione e il resto sulla destra;
  • portando tali termini.

equazioni lineari

Nel caso in cui un valore sconosciuto sia al denominatore di una frazione, è necessario determinare i suoi valori a cui l'espressione non ha senso. In altre parole, è necessario conoscere il dominio dell'equazione.

Il principio in base al quale tutte le equazioni lineari sono risolte riduce a dividere il valore sul lato destro dell'uguaglianza per il coefficiente di fronte alla variabile. Cioè, "x" sarà uguale a / a.

Casi speciali di un'equazione lineare e loro soluzioni

Durante il ragionamento, tali momenti possono sorgere quando le equazioni lineari prendono uno di tipi speciali. Ognuno di loro ha una soluzione specifica.

Nella prima situazione:

a * x = 0 , inoltre, a ≠ 0.

La soluzione di tale equazione sarà sempre x = 0.

Nel secondo caso, "a" assume un valore uguale a zero:

0 * x = 0 .

La risposta a questa equazione sarà qualsiasi numero. Cioè, ha un numero infinito di radici.

La terza situazione è la seguente:

0 * x = in , dove in ≠ 0.

Questa equazione non ha senso. Perché le radici che lo soddisfano non esistono.

operatori matematici

Vista generale di un'equazione lineare con due variabili

Dal suo nome diventa chiaro che ci sono già due quantità sconosciute in esso. Le equazioni lineari con due variabili hanno questo aspetto:

a * x + v * y = s .

Dato che ci sono due incognite nel record, la risposta sembrerà una coppia di numeri. Non è sufficiente specificare un solo valore. Questa sarà una risposta incompleta. La coppia di quantità a cui un'equazione si trasforma in un'identità è una soluzione all'equazione. Inoltre, la risposta è sempre la prima a scrivere la variabile che precede in ordine alfabetico. A volte dicono che questi numeri lo soddisfano. Inoltre, tali coppie possono essere un numero infinito.

Come risolvere un'equazione lineare con due incognite?

Per fare questo, basta prendere qualsiasi coppia di numeri che risulta essere vera. Per semplicità, puoi prendere una delle incognite per essere uguale a qualsiasi un numero primo e poi trova il secondo.

Nel risolvere, è spesso necessario eseguire azioni per semplificare l'equazione. Sono chiamate trasformazioni di identità. Inoltre, le seguenti proprietà sono sempre valide per le equazioni:

  • ogni termine può essere trasferito nella parte opposta dell'uguaglianza sostituendo il suo segno con l'opposto;
  • i lati sinistro e destro di qualsiasi equazione possono essere divisi per lo stesso numero se non è uguale a zero.

equazioni lineari e disuguaglianze

Esempi di compiti con equazioni lineari

Il primo compito. Risolvi le equazioni lineari: 4x = 20, 8 (x - 1) + 2x = 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Nell'equazione che viene prima in questa lista, è sufficiente dividere semplicemente 20 per 4. Il risultato sarà 5. Questa è la risposta: x = 5.

La terza equazione richiede che venga eseguita la trasformazione dell'identità. Consisterà nella divulgazione di parentesi e aggiunta di tali termini. Dopo la prima azione, l'equazione assume la forma: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Quindi è necessario trasferire tutte le incognite sul lato sinistro dell'uguaglianza e il resto sulla destra. L'equazione sarà simile a questa: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Dopo aver ridotto tali termini: 14x = 16. Ora sembra uguale al primo e la sua soluzione è semplice. La risposta è x = 8/7. Ma in matematica dovrebbe allocare l'intera parte da frazione sbagliata. Quindi il risultato verrà trasformato e "x" sarà uguale a un intero e un settimo.

Nei restanti esempi, le variabili sono al denominatore. Ciò significa che devi prima sapere a quali valori sono definite le equazioni. Per questo è necessario escludere i numeri in corrispondenza dei quali i denominatori si azzerano. Nel primo esempio, questo è "-4", nel secondo è "-3". Cioè, questi valori devono essere esclusi dalla risposta. Dopo di ciò, è necessario moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per le espressioni nel denominatore.

Aprendo le parentesi e dando termini simili, nella prima di queste equazioni otteniamo: 5x + 15 = 4x + 16, e nel secondo 5x + 15 = 4x + 12. Dopo le trasformazioni, la soluzione della prima equazione è x = -1. Il secondo è uguale a "-3", il che significa che quest'ultimo non ha soluzioni.

Il secondo compito. Risolvi l'equazione: -7x + 2y = 5.

Supponiamo che la prima sconosciuta x = 1, quindi l'equazione prende la forma -7 * 1 + 2y = 5. Avendo trasferito il fattore "-7" sul lato destro dell'equazione e cambiando il suo segno in un vantaggio, risulta che 2u = 12. Quindi, y = 6. Risposta: una delle soluzioni dell'equazione è x = 1, y = 6.

equazioni lineari con due variabili

Vista generale della disuguaglianza con una variabile

Tutte le possibili situazioni di disuguaglianza sono presentate qui:

  • a * x> in;
  • a * x <v;
  • a * x ≥ in;
  • a * x ≤в.

In generale, sembra l'equazione lineare più semplice, solo il segno di uguale è sostituito dalla disuguaglianza.

Regole di trasformazione identiche per la disuguaglianza

Oltre alle equazioni lineari, le disuguaglianze possono essere modificate in base a determinate leggi. Si riducono a quanto segue:

  1. qualsiasi espressione letterale o numerica può essere aggiunta ai lati sinistro e destro della disuguaglianza, con il segno di diseguaglianza rimasto lo stesso;
  2. è anche possibile moltiplicare o dividere per lo stesso numero positivo, di nuovo il segno non cambia;
  3. moltiplicando o dividendo per lo stesso numero negativo, l'uguaglianza rimarrà vera purché il segno di disuguaglianza sia invertito.

proprietà di disuguaglianza

Vista generale delle doppie disuguaglianze

I seguenti problemi di disuguaglianza possono essere rappresentati nei problemi:

  • in <a * x <s;
  • in ≤ a * x <s;
  • in <a * x ≤ s;
  • in ≤ a * x ≤ c.

Il doppio è chiamato, perché è limitato da segni di disuguaglianza su entrambi i lati. È risolto usando le stesse regole delle disuguaglianze ordinarie. E trovare la risposta si riduce a un numero di trasformazioni identiche. Fino a quando il più semplice è ricevuto.

Caratteristiche della soluzione di doppie disuguaglianze

La prima di queste è la sua immagine sull'asse delle coordinate. Non è necessario utilizzare questo metodo per semplici disuguaglianze. Ma nei casi difficili, potrebbe essere semplicemente necessario.

Per l'immagine della disuguaglianza è necessario segnare sull'asse tutti i punti che si sono verificati durante il ragionamento. Questi sono entrambi valori non validi, che sono indicati da punti perforati, e i valori delle disuguaglianze ottenuti dopo le trasformazioni. Anche qui è importante tracciare correttamente i punti. Se la disuguaglianza è rigorosa, cioè <o>, allora questi valori sono perforati. In disuguaglianze deboli, i punti devono essere colorati.

Quindi è necessario designare il significato delle disuguaglianze. Questo può essere fatto con tratteggio o archi. La loro intersezione indicherà la risposta.

La seconda caratteristica è legata al suo record. Qui ci sono due opzioni. Il primo è l'ineguaglianza finale. Il secondo è sotto forma di lacune. Succede a lui che sorgono difficoltà. Gli intervalli di risposta appaiono sempre come una variabile con il segno di appartenenza e le parentesi con i numeri. A volte ci sono diversi spazi vuoti, quindi tra parentesi è necessario scrivere il simbolo "e". Questi segni sono i seguenti: ∈ e ∩. Anche le staffe di spaziatura giocano un ruolo. Il round viene impostato quando il punto è escluso dalla risposta e quello rettangolare include questo valore. Il segno dell'infinito è sempre tra parentesi.

disuguaglianza del fascio coordinato

Esempi di risoluzione delle disuguaglianze

1. Risolvi la disuguaglianza 7 - 5x ≥ 37.

Dopo semplici trasformazioni risulta: -5x ≥ 30. Dividendo per "-5" puoi ottenere la seguente espressione: x ≤ -6. Questa è la risposta, ma può essere scritta in un altro modo: x ∈ (-∞; -6].

2. Risolvi la doppia disuguaglianza -4 <2x + 6 ≤ 8.

Per prima cosa, devi sottrarre ovunque 6. Si scopre: -10 <2x ≤ 2. Ora devi dividere per 2. La diseguaglianza sarà simile a: -5 <x ≤ 1. Dopo aver rappresentato la risposta sull'asse del numero, puoi immediatamente capire che il risultato sarà da -5 a 1. E il primo punto è escluso, e il secondo è incluso. Cioè, la risposta alla disuguaglianza è: x ∈ (-5; 1].