Qual è il principio della fattoria?

Il XVII secolo fu caratterizzato dal rapido sviluppo in Europa di una sezione speciale di fisica - ottica. Le leggi della riflessione e della rifrazione erano aperte alla luce e il principio di Fermat mostrava perché avevano la forma matematica appropriata. Vediamo più in dettaglio che cos'è questo principio.

Rifrazione e fenomeni di riflessione

Per riflessione capiscono un fenomeno in cui la luce, che si diffonde in una sostanza trasparente ad essa, incontra un ostacolo sul suo cammino e cambia drasticamente la sua traiettoria. Qualsiasi ostacolo può essere qualsiasi: liquido o solido, trasparente e opaco.

Il fenomeno della riflessione è noto fin dall'antichità. Secondo le prove storiche, le leggi della riflessione erano già state formulate prima della nostra era. E nel primo secolo dC, il filosofo egiziano Heron di Alessandria espresse l'idea della traiettoria della luce, che il francese Pierre Fermat in seguito usò nel formulare il suo principio.

Il fenomeno della rifrazione è la frattura di una linea retta lungo la quale si muove la luce, quando attraversa la superficie separando due materiali trasparenti. Si noti che nel caso della riflessione, il raggio si muove in un materiale trasparente o, come si dice, in un mezzo.

La prima formulazione delle leggi di rifrazione è attribuita ai matematici persiani del X secolo, ad un certo Ibnu Sahl, che nelle sue opere si basava sulle opere di Claudio Tolomeo (I-II secolo d.C.). A cavallo tra la fine del XVI e l'inizio del XVII secolo, lo scienziato olandese Snell, riassumendo i risultati di molti esperimenti con la luce, formulò in forma matematica la seconda legge della rifrazione, che ora porta il suo cognome. Snell ha dato la sua formulazione in termini di distanze, non di angoli, come è consuetudine ora. L'aspetto moderno della legge di rifrazione forniva già Rene Descartes.

Le leggi della propagazione della luce nei media trasparenti

Prima di procedere alla considerazione del principio di Fermat, dovrebbero essere formulate le leggi di rifrazione e riflessione della luce. Per ciascuno di questi fenomeni, è consuetudine individuare due leggi. Sotto sono combinati a coppie:

1. La traiettoria del raggio, quando attraversa l'interfaccia tra due media, si trova sempre nello stesso piano del normale rispetto al piano di questo limite. La traiettoria di raggio possibile è formata nel caso generale da tre parti: il raggio incidente, rifratto e riflesso.
2. Se l'angolo tra il raggio di luce incidente e il normale è chiamato θ ₁ , lo stesso angolo, ma per il raggio riflesso, è scritto come θ ₂ , e l'angolo rifratto è θ ₃ , quindi la seconda legge sarà simile a:

• per la riflessione: θ ₁ = θ ₂ ;
• per rifrazione: n ₁ * sin (θ ₁ ) = n ₂ * sin (θ ₃ ).

In queste formule, n ₁ en ₂ sono indici di rifrazione nei supporti trasparenti 1 e 2. L'indice di rifrazione, per definizione, è calcolato come segue:

n = c / v.

Qui v e c sono le velocità di movimento del fascio di luce nel mezzo e nel vuoto.

La formulazione del principio della fattoria

Pierre Fermat fu uno dei famosi matematici e avvocati della Francia nella prima metà del diciassettesimo secolo. Il principio che porta il suo nome, formulò nel 1662, cioè, mezzo secolo dopo che Snell scoprì la sua legge per la rifrazione.

In breve, il principio di Fermat può essere formulato come segue: la luce, quando si muove in qualsiasi mezzo trasparente, seleziona una traiettoria simile, che passa nel minor tempo possibile.

In realtà, questa formulazione non è diversa da quella che Heron of Alexandria fece mille e cinquecento anni prima per il fenomeno della riflessione. Tuttavia, il francese ha reso comune a tutti i fenomeni associati alla luce e ha mostrato come le leggi di rifrazione e riflessione possano essere derivate da questo principio.

Conclusione della 1a legge della riflessione

Usando il principio di Fermat, le leggi della riflessione saranno ottenute matematicamente. Per fare ciò, considera la figura seguente.

Qui viene mostrato che il raggio esce dal punto S, che si trova sull'asse y. Quindi viene riflesso dal piano xz in un punto sconosciuto M. Dopo la riflessione, il raggio si sposta sul punto P che si trova sul piano xy. La posizione selezionata dei punti S e P non influenza la generalità di ulteriori ragionamenti, ma semplifica semplicemente i calcoli matematici.

Quindi, scriviamo le coordinate di ogni punto:

S (0; y _S ; 0);

M (x; 0; z);

P (x _P ; y _P ; 0).

Le coordinate di posizione dei punti S e P sono note. Il compito è quello di trovare un tale punto M, che corrisponderà al vero percorso SMP attraversato dal raggio di luce. Supponiamo anche che lo spazio in esame sia omogeneo, cioè la velocità della luce in qualsiasi punto sia un valore costante.

Secondo il principio di Fermat, la traiettoria di luce SMP passerà nel minor tempo possibile se è la più corta possibile. Scriviamo la sua lunghezza:

SM = √ (x ² + y _S ² + z ² ); MP = √ ((xx _P ) ² + y _P ² + z ² );

SMP = √ (x ² + y _S ² + z ² ) + √ ((xx _P ) ² + y _P ² + z ² ).

Per calcolare la lunghezza SMP minima, è necessario trovare le derivate parziali rispetto a x e z (le coordinate sconosciute del punto M) ed equare i risultati ottenuti a zero.

Prima troviamo la derivata parziale rispetto a z. Abbiamo:

∂ (SMP) / ∂z = z / √ (x ² + y _S ² + z ² ) + z / √ ((xx _P ) ² + y _P ² + z ² ) = 0.

Questa uguaglianza ha una radice singola quando z = 0. In altre parole, il punto M si trova sull'asse x, cioè nello stesso piano dei punti P e S (il piano xy). Da ciò segue che il normale ripristinato al piano xz, nel quale, per la condizione del problema, si trova il punto M, giace con SM e MP nello stesso piano (xy). Questa è la prima legge della riflessione.

Conclusione della 2a legge di riflessione

Continua a calcolare l'elemento precedente. Come è stato detto, è ora necessario trovare la derivata parziale rispetto a x. Abbiamo:

∂ (SMP) / ∂x = x / √ (x ² + y _S ² + z ² ) + (xx _P ) / √ ((xx _P ) ² + y _P ² + z ² ) = 0.

Scriviamo l'ultima uguaglianza nella forma:

x / SM + (xx _P ) / MP = 0 =>

x / SM = (x _P -x) / MP.

Le relazioni ottenute in ciascuna parte dell'uguaglianza sono i seni degli angoli con il vertice nei punti S e P. Se ripristiniamo la normale sul piano xz attraverso il punto M, allora gli angoli contrassegnati corrisponderanno agli angoli di incidenza (tra SM e normale) e riflessi (tra MP e normale) .

Quindi, seguendo il principio di Fermat, abbiamo anche ottenuto la seconda legge della riflessione della luce.

Conclusione della legge di rifrazione di Snell

Ora mostriamo come la legge della rifrazione della luce può essere derivata dal principio di Fermat. Per fare ciò, considera un'immagine simile alla precedente.

Per semplicità, considereremo il caso nel piano xy. Annotiamo le coordinate della sorgente S e la luce del ricevitore P, che si trovano in ambienti diversi:

S (x _S ; y _S );

M (x; 0);

P (x _P ; y _P ).

Cerchiamo di trovare la coordinata sconosciuta del punto M. La coordinata y = 0 è precisamente nota per questo, poiché è proprio al confine del supporto (asse x) che la velocità della luce cambia. Le lunghezze dei segmenti SM e MP sono uguali a:

SM = √ (xx _S ) ² + y _S ² );

MP = √ (x _P -x) ² + y _P ² ).

Il tempo totale trascorso dalla luce sulla traiettoria SMP sarà uguale a:

t = SM / v ₁ + MP / v ₂ .

Qui, v ₁ e v ₂ sono le velocità del raggio nel supporto corrispondente. Per trovare il tempo minimo di movimento, si dovrebbe prendere la derivata totale rispetto alla variabile x ed equivalere a zero. Otteniamo:

dt / dx = (xx _S ) / (√ (xx _S ) ² + y _S ² ) * v ₁ ) - (x _P -x) / (√ (x _P -x) ² + y _P ² ) * v ₂ ) = 0 =>

(xx _S ) / (SM * v ₁ ) = (x _P -x) / (MP * v ₂ ).

Usando le funzioni dei seni dell'angolo di incidenza θ ₁ e la rifrazione θ ₃ , otteniamo:

sin (θ ₁ ) / v ₁ = sin (θ ₃ ) / v ₂ .

Per portare l'uguaglianza ottenuta alla legge di Snell in una forma conveniente (attraverso gli indici di rifrazione dei media), è necessario moltiplicare i lati sinistro e destro per la velocità della luce c.

Pertanto, l'applicazione del principio di Fermat facilita la deduzione delle leggi per i principali fenomeni di movimento di un fascio di luce in materiali trasparenti.

Il movimento della luce in un mezzo disomogeneo

I casi sopra considerati presuppongono che il materiale sia omogeneo e che il raggio di luce mantenga la sua velocità quando si muove. Nel caso di media disomogenei, la seguente uguaglianza è vera:

L = ∫n (x, y, z) * dl.

Questo integrale è preso lungo la traiettoria della luce. Il differenziale dl è un segmento del percorso per il quale il mezzo mantiene la sua omogeneità. Il valore n (x, y, z) è un indice locale di rifrazione.

L'integrale annotato viene solitamente chiamato integrale del percorso ottico. Il principio dell'Azienda per il percorso ottico consiste nel trovare estremi per L.

La formulazione generalizzata del principio in esame

Il principio del tempo minimo per il movimento della luce è particolare per una formulazione più generale. Allo stato attuale, il principio generale di Fermat è formulato come segue: la luce sceglie una traiettoria durante il movimento che corrisponde agli estremi del percorso ottico.

Gli estremi di una funzione, secondo una definizione matematica, sono il punto minimo, massimo e di inflessione. Il principio generale di Fermat soddisfa tutti questi valori, cioè la traiettoria della luce non sarà necessariamente minima, può essere sia il punto di flesso massimo che il corrispondente del percorso ottico.

Analogia nazionale con il principio in esame

Il principio generale di Fermat, a sua volta, è un caso speciale del cosiddetto principio di minima azione. Qui non daremo le definizioni corrispondenti e le loro formulazioni matematiche, tuttavia, mostriamo dove si può applicare il principio proposto dai francesi.

Viene utilizzato per risolvere un compito semplice, a prima vista, quotidiano: ad esempio, una persona sta affogando nel mare vicino a una spiaggia. Come dovrebbe un soccorritore muoversi sulla riva per salvare un uomo che annega? Certo, dovrebbe venire in soccorso nel minor tempo possibile. Poiché la velocità di movimento del bagnino sulla spiaggia è più che sull'acqua, dovrebbe correre un po 'lontano lungo la riva, e solo allora saltare in acqua e nuotare. Cioè, il compito è ridotto all'applicazione del principio di Fermat, in cui il ruolo del raggio di luce è svolto dal soccorritore.

Si noti che la soluzione a questo problema non è semplice, perché nel suo processo compaiono equazioni di 4 ° grado.

Quindi, il principio di Fermat è uno strumento per ottenere le leggi fondamentali della propagazione della luce. Tuttavia, non è fondamentale. Si può dire che ciò deriva dal principio di Huygens delle sorgenti di onde sferiche secondarie.