Trova il perimetro del triangolo in vari modi.
Il perimetro di ogni triangolo è la lunghezza della linea che delimita la forma. Per calcolarlo, è necessario conoscere la somma di tutti i lati di questo poligono.
Calcolo da queste lunghezze laterali
Quando il loro significato è noto, è facile da fare. Denotando questi parametri con le lettere m, n, k e il perimetro con la lettera P, otteniamo la formula per il calcolo: P = m + n + k. Compito: È noto che il triangolo ha lati di lunghezza 13,5 decimetri, 12,1 decimetri e 4,2 decimetri. Scopri il perimetro. Risolviamo: Se i lati di un dato poligono sono a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, quindi P = 29,8 dm. Risposta: P = 29,8 dm.
Il perimetro di un triangolo che ha due lati uguali
Tale triangolo è chiamato isoscele. Se questi lati uguali sono lunghi un centimetro e il terzo lato è lungo centimetri, allora il perimetro è facilmente riconoscibile: P = b + 2a. Compito: il triangolo ha due lati di 10 decimetri, la base di 12 decimetri. Trova P. Soluzione: Lascia il lato a = c = 10 dm, la base b = 12 dm. La somma dei lati è P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Risposta: P = 32 decimetri.
Perimetro di un triangolo equilatero
Se tutti e tre i lati di un triangolo hanno un numero uguale di unità, viene chiamato equilatero. Un altro nome è corretto Il perimetro di un triangolo regolare si trova usando la formula: P = a + a + a = 3 · a. Compito: abbiamo una trama terrestre triangolare equilatera. Un lato è di 6 metri. Trova la lunghezza della recinzione, che può racchiudere quest'area. Soluzione: se il lato di questo poligono è a = 6m, la lunghezza della fence è P = 3 · 6 = 18 (m). Risposta: P = 18 m.
Un triangolo che ha un angolo di 90 °
Si chiama rettangolare. La presenza di un angolo retto permette di trovare lati sconosciuti usando la definizione di funzioni trigonometriche e il teorema di Pitagora. Il lato più lungo è chiamato l'ipotenusa ed è denotato da c. Ci sono altri due lati, a e b. Seguendo il teorema che porta il nome di Pitagora, abbiamo c 2 = a 2 + b 2 . Le zampe sono a = √ (c 2 - b 2 ) e b = √ (c 2 - a 2 ). Conoscendo la lunghezza delle due gambe aeb, calcoliamo l'ipotenusa. Quindi troviamo la somma dei lati della figura, aggiungendo questi valori. Quest: Cateta triangolo rettangolo avere una lunghezza di 8,3 centimetri e 6,2 centimetri. Il perimetro del triangolo deve essere calcolato. Risolviamo: denotiamo le gambe a = 8,3 cm, b = 6,2 cm. Seguendo il teorema di Pitagora, l'ipotenusa è c = √ (8.3 2 + 6.2 2 ) = √ (68.89 + 38.44) = √107 , 33 = 10,4 (cm). P = 24,9 (cm). Oppure P = 8.3 + 6.2 + √ (8.3 2 + 6.2 2 ) = 24.9 (cm). Risposta: P = 24,9 cm. I valori delle radici sono stati portati al decimo. Se conosciamo i valori dell'ipotenusa e della gamba, allora il valore di P sarà ottenuto calcolando P = √ (c 2 - b 2 ) + b + c. Compito 2: Un pezzo di terreno, che si trova di fronte all'angolo di 90 gradi, 12 km, una delle gambe è di 8 km. Quanto tempo puoi percorrere l'intera area, se ti muovi ad una velocità di 4 chilometri all'ora? Soluzione: se il segmento più grande è 12 km, meno di b = 8 km, la lunghezza dell'intero percorso sarà P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2 ) = 20 + √80 = 20 + 8.9 = 28,9 ( km). Troveremo il tempo dividendo il percorso per velocità. 28,9: 4 = 7,225 (h). Risposta: puoi andare in giro per 7,3 ore radici quadrate e la risposta ci porta fino a un decimo. Puoi trovare la somma dei lati di un triangolo rettangolo se uno dei lati è dato e il valore di uno degli angoli acuti. Conoscendo la lunghezza della gamba b e il valore dell'angolo opposto β, troviamo il lato sconosciuto a = b / tg β. Trova l'ipotenusa c = a: sinα. Il perimetro di tale figura si trova sommando i valori ottenuti. P = a + a / sinα + a / tg α, o P = a (1 / sin α + 1 + 1 / tg α). Compito: in un Δ АВС rettangolare con un angolo retto C, le gambe del sole sono lunghe 10 m e l'angolo A è 29 gradi È necessario trovare la somma delle parti Δ АВС. Soluzione: denotiamo la gamba conosciuta BC = a = 10 m, l'angolo che si trova di fronte, ∟А = α = 30 °, quindi la gamba AC = b = 10: 0.58 = 17.2 (m), ipotenusa AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17.2 + 20 = 47.2 (m). Oppure P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m Abbiamo: P = 47,2 m. Prendiamo il valore delle funzioni trigonometriche con una precisione di un centesimo, la lunghezza dei lati e il perimetro sono arrotondati al decimo. Avendo il valore della gamba α e l'angolo adiacente β, scopriamo che la seconda gamba è uguale a: b = a tan β. L'ipotenusa in questo caso sarà uguale alla gamba divisa per il coseno dell'angolo β. Il perimetro è noto con la formula P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1 + 1: cos β) · a. Compito: la gamba del triangolo con un angolo di 90 gradi 18 cm, l'angolo adiacente è di 40 gradi. Trova P. Soluzione: denotiamo la gamba conosciuta BC = 18 cm, ∟β = 40 °. Quindi la gamba sconosciuta AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), l'ipotenusa AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). La somma dei lati della figura è uguale a Р = 56,3 (cm). Oppure P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm Risposta: P = 56,3 cm Se la lunghezza dell'ipotenusa c e qualsiasi angolo α è nota, le gambe saranno uguali al prodotto dell'ipotenusa per il primo - sul seno e per il secondo - sul coseno di questo angolo. Il perimetro di questa figura è P = (sin α + 1 + cos α) * c. Compito: Hypotenuse di un triangolo rettangolo AB = 9,1 centimetri e un angolo di 50 gradi. Trova la somma dei lati di questa figura. Soluzione: Indichiamo l'ipotenusa: AB = c = 9,1 cm, ∟ A = α = 50 °, quindi una delle gambe BC ha una lunghezza di a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), ACH = b = 9 , 1 · 0,64 = 5,8 (cm). Quindi il perimetro di questo poligono è P = 9.1 + 7 + 5.8 = 21.9 (cm). Oppure P = 9.1 · (1 + 0.77 + 0.64) = 21.9 (cm). Risposta: P = 21,9 centimetri.
Triangolo arbitrario, un lato del quale è sconosciuto
Se abbiamo i valori di due lati a e c, e l'angolo tra questi lati è γ, troviamo il terzo teorema dei coseni: b 2 = ñ 2 + a 2 - 2 come cos β, dove β è l'angolo tra i lati a e c. Quindi troviamo il perimetro. Compito: Δ АВС ha un segmento AB con una lunghezza di 15 dm, un segmento di AU, la cui lunghezza è 30,5 dm. L'angolo tra questi lati è di 35 gradi. Calcola la somma delle parti Δ ABC. soluzione: Teorema del coseno calcolare la lunghezza della terza parte. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 · 30,5 · 15 · 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) Abbiamo: P = 65,6 dm.
La somma dei lati di un triangolo arbitrario le cui lunghezze dei due lati sono sconosciute
Quando conosciamo la lunghezza di un solo segmento e il valore di due angoli, possiamo scoprire la lunghezza di due lati sconosciuti, usando il teorema del seno: "in un triangolo, i lati sono sempre proporzionali ai valori sinusoidali degli angoli opposti". Dove b = (a * sin β) / sin a. Allo stesso modo, c = (a sin γ): sin a. Il perimetro in questo caso sarà P = a + (a sin β) / sin a + (a sin γ) / sin a. Compito: abbiamo Δ ABC. In esso, la lunghezza del lato BC è di 8,5 mm, il valore dell'angolo C è 47 ° e l'angolo B di 35 gradi. Trova la somma dei lati di questa figura. Soluzione: Denotare le lunghezze dei lati BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α = 47 °, ∟ B = β = 35 °, ∟ C = γ = 180 ° - (47 ° + 35 °) = 180 ° - 82 ° = 98 °. Dalle relazioni derivate dal teorema del seno, troviamo le gambe AC = b = (8.5 · 0.57): 0.73 = 6.7 (mm), AB = c = (7 · 0.99): 0.73 = 9,5 (mm). Quindi la somma dei lati di questo poligono è P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Risposta: P = 23,5 mm. Nel caso in cui vi sia solo la lunghezza di un segmento e i valori di due angoli adiacenti, per prima cosa calcoliamo l'angolo opposto al lato conosciuto. Tutti gli angoli di questa figura hanno un totale di 180 gradi. Pertanto, ∟ A = 180 ° - (∟B + ∟C). Successivamente troviamo i segmenti sconosciuti usando il teorema del seno. Compito: abbiamo Δ ABC. Ha un segmento BC pari a 10 cm. L'angolo B è di 48 gradi, l'angolo C è di 56 gradi. Trova la somma delle parti Δ abc. Soluzione: innanzitutto, trova il valore dell'angolo A, opposto al lato del BC. ∟ A = 180 ° - (48 ° + 56 °) = 76 °. Ora con il teorema del seno, calcoliamo la lunghezza del lato AC = 10 · 0.74: 0.97 = 7.6 (cm). AB = BC * sin C / sin A = 8.6. Il perimetro del triangolo è P = 10 + 8.6 + 7.6 = 26.2 (cm). Risultato: P = 26,2 cm.
Calcolare il perimetro di un triangolo usando il raggio del cerchio inscritto in esso
A volte nessuna delle condizioni del problema è nota. Ma c'è un valore area del triangolo e il raggio del cerchio inscritto in esso. Questi valori sono correlati: S = r p. Conoscendo il valore dell'area di un triangolo, raggio r, possiamo trovare un semi-perimetro p. Trova p = S: r. Compito: La trama ha un'area di 24 m 2 , il raggio r è 3 m Trova il numero di alberi che dovrebbero essere piantati in modo uniforme lungo la linea che racchiude questa sezione se c'è una distanza di 2 metri tra due adiacenti. Soluzione: la somma dei lati di questa figura si trova come segue: P = 2 · 24: 3 = 16 (m). Quindi dividere per due. 16: 2 = 8. Totale: 8 alberi.
La somma dei lati del triangolo in coordinate cartesiane
Vertici Δ АВС hanno coordinate: A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ), C (x 3 ; y 3 ). Trova i quadrati di ogni lato AB 2 = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3 ) 2 + (y 2 - y 3 ) 2 ; AC 2 = (x 1 - x 3 ) 2 + (y 1 - y 3 ) 2 . Per trovare il perimetro, è sufficiente aggiungere tutti i segmenti. Attività: coordinate vertice Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Trova la somma dei lati di questa figura. Soluzione: inserendo i valori delle coordinate corrispondenti nella formula perimetrale, otteniamo P = √ (4 + 9) + √ (1 + 25) + √ (1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5.1 + 8,0 = 16,6. Abbiamo: P = 16.6. Se la figura non è su un piano, ma nello spazio, ciascuno dei vertici ha tre coordinate. Pertanto, la somma delle parti avrà un altro termine.
Metodo vettoriale
Se la forma è data dalle coordinate dei vertici, il perimetro può essere calcolato usando il metodo vettoriale. Un vettore è un segmento che ha una direzione. Il suo modulo (lunghezza) è indicato con il simbolo |ᾱ |. La distanza tra i punti è la lunghezza del vettore corrispondente, o il modulo del vettore. Considera un triangolo che giace su un aereo. Se i vertici hanno coordinate A (x 1 ; y 1 ), M (x 2 ; y 2 ), T (x 3 ; y 3 ), allora la lunghezza di ciascun lato viene individuata dalle formule: AM = √ ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 ), | MT | = √ ((x 2 - x 3 ) 2 + (y 2 - y 3 ) 2 ), |AT| = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( 1 - 3 ) 2 ). Il perimetro di un triangolo si ottiene aggiungendo le lunghezze dei vettori. Allo stesso modo, trova la somma dei lati del triangolo nello spazio.