Come viene formulato e provato il teorema del coseno?

11/06/2019

Non tutti gli scolari, e ancor più gli adulti, sanno che il teorema del coseno è direttamente correlato al teorema di Pitagora. Più precisamente, quest'ultimo è un caso speciale del primo. Questo momento, oltre a due modi per dimostrare il teorema del coseno, ti aiuterà a diventare una persona più competente. Inoltre, la pratica di esprimere valori dalle espressioni originali è un pensiero logico ben sviluppato. La lunga formula del teorema in esame costringerà sicuramente uno a lavorare e migliorare.

teorema del coseno

L'inizio della conversazione: l'introduzione dei simboli

Questo teorema è formulato e provato per un triangolo arbitrario. Pertanto, può sempre essere usato, in qualsiasi situazione, se vengono dati due lati, e in alcuni casi tre, e un angolo, e non necessariamente tra di loro. qualunque tipo di triangolo il teorema funziona sempre.

E ora sulla designazione delle quantità in tutte le espressioni. È meglio essere d'accordo subito, in modo da non spiegarlo più volte. Per questo, la seguente tabella è compilata.

Elemento triangolare La sua designazione
Lato sconosciuto e
Altri due lati in, con
Angolo opposto lato sconosciuto la
Angoli che si trovano contro altri lati B, C
L'altezza della parte superiore del triangolo n

Formulazione e scrittura matematica

Quindi, il teorema del coseno è formulato come segue:

Il quadrato del lato di qualsiasi triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati di esso, meno il doppio del prodotto degli stessi lati dal coseno dell'angolo che si trova tra di loro.

Certo, è lungo, ma se capisci la sua essenza, allora sarà facile da ricordare. Puoi anche immaginare un disegno di un triangolo. Visivamente sempre più facile da ricordare.

La formula di questo teorema sarà simile a questa:

a 2 = 2 + s 2 - 2 * c * s * cos A.

Un po 'lungo, ma tutto è logico. Se guardi un po 'più da vicino, puoi vedere che le lettere sono ripetute, quindi è facile da ricordare.

prova del teorema del coseno

Prova comune del teorema

Poiché è valido per tutti i triangoli, è possibile scegliere per il ragionamento di uno qualsiasi dei tipi. Lascia che sia una figura con tutti gli angoli acuti. Considera un triangolo acuto arbitrario il cui angolo C è maggiore dell'angolo B. Dal vertice con questo angolo grande, devi abbassare la perpendicolare al lato opposto. L'altezza contenuta divide il triangolo in due rettangolari. Questo è richiesto per la prova.

Il lato sarà diviso in due segmenti: x, y. Devono essere espressi in termini noti. La parte che risulta essere in un triangolo con un'ipotenusa uguale a, sarà espressa scrivendo:

x = in * cos A.

L'altro sarà uguale a questa differenza:

y = s - in * cos A.

Ora abbiamo bisogno di scrivere il teorema di Pitagora per i due risultati triangoli rettangoli prendendo un'altezza sconosciuta. Queste formule avranno questo aspetto:

n 2 = in 2 - (in * cos А) 2 ,

n 2 = a 2 - (c - c * cos A) 2 .

In queste uguaglianze sono identiche espressioni a sinistra. Quindi, anche i loro lati positivi saranno uguali. È facile da scrivere Ora è necessario aprire le parentesi:

in 2 - in 2 * (cos À) 2 = a 2 - ñ 2 + 2 с * in * cos А - in 2 * (cos À) 2 .

Se eseguiamo il trasferimento e la riduzione di tali termini, allora otteniamo la formula iniziale, che è scritta dopo la dicitura, cioè il teorema del coseno. La dimostrazione è completa.

teorema del coseno per un triangolo

Prova del teorema attraverso i vettori

È molto più corto di quello precedente. E se conosci le proprietà dei vettori, allora il teorema del coseno per il triangolo sarà dimostrato semplicemente.

Se i lati a, b, c sono indicati rispettivamente dai vettori BC, AC e AB, allora l'uguaglianza è vera:

SU = AC - AB.

Ora devi eseguire alcune azioni. Il primo di questi è la quadratura di entrambi i lati dell'uguaglianza:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Quindi l'uguaglianza deve essere riscritta in forma scalare, dato che il prodotto dei vettori è uguale al coseno dell'angolo tra loro e i loro valori scalari:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Resta solo da ritornare alla vecchia notazione, e di nuovo il teorema del coseno si rivelerà:

a 2 = 2 + s 2 - 2 * c * s * cos A.

Formule per altri lati e tutti gli angoli

Per trovare il lato, dal teorema del coseno è necessario estrarre radice quadrata. La formula per i quadrati di uno degli altri lati sarà simile a questa:

con 2 = a 2 + a 2 - 2 * a * a * cos C.

Per scrivere l'espressione per il quadrato del lato in , è necessario sostituire l'uguaglianza precedente con da a, e viceversa, e posizionare l'angolo B sotto il coseno

Dalla formula di base del teorema, possiamo esprimere il valore del coseno dell'angolo A:

cos А = (in 2 + с 2 - а 2 ) / (2 в * с).

Le formule per altri angoli sono derivate allo stesso modo. Questa è una buona pratica, quindi puoi provare a scriverli da solo.

Naturalmente, non è necessario memorizzare queste formule. Basta capire il teorema e la capacità di derivare queste espressioni dalla sua registrazione principale.

La formula originale del teorema consente di trovare un lato se l'angolo non è tra i due noti. Ad esempio, è necessario trovare in , quando vengono forniti i valori: a, c, a . O è sconosciuto con , ma ci sono valori a, b, a .

In questa situazione, è necessario spostare tutte le formule di aggiunta a sinistra. Questa uguaglianza è ottenuta:

ñ 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

Riscrivialo in una forma leggermente diversa:

con 2 - (2 * in * cos A) * con + (in 2 - e 2 ) = 0.

Puoi facilmente vedere l'equazione quadratica. In esso, la quantità sconosciuta è c , e tutti gli altri sono dati. Pertanto, è sufficiente risolverlo con l'aiuto di una discriminante. Quindi verrà trovato il lato sconosciuto.

Allo stesso modo, si ottiene la formula per il secondo lato:

2 - (2 * s * cos A) * c + (c 2 - a 2 ) = 0.

Da altre espressioni, tali formule sono anche facili da ottenere.

tipi di triangoli

Come calcolare l'angolo senza calcolare il coseno?

Se osservate attentamente la formula dell'angolo del coseno derivata in precedenza, noterete quanto segue:

  • il denominatore di una frazione è sempre un numero positivo, perché contiene il prodotto di lati che non possono essere negativi;
  • l'angolo dipenderà dal segno del numeratore.

L'angolo A sarà:

  • acuta in una situazione in cui il numeratore è maggiore di zero;
  • smussato se questa espressione è negativa;
  • diretto quando è zero.

A proposito, quest'ultima situazione trasforma il teorema del coseno nel teorema di Pitagora. Perché con un angolo di 90 °, il suo coseno è zero e l'ultimo termine scompare.

Primo compito

condizione

L'angolo ottuso di un triangolo arbitrario è 120º. A proposito dei lati a cui è limitato, è noto che uno di essi è più lungo di 8 cm rispetto all'altro: la lunghezza del terzo lato è nota, è di 28 cm. È necessario trovare il perimetro del triangolo.

decisione

Per prima cosa è necessario designare uno dei lati con la lettera "x". In questo caso, l'altro sarà uguale a (x + 8). Dato che ci sono espressioni per tutti e tre i lati, puoi usare la formula che il teorema del coseno dà:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

Nelle tabelle per i coseni, è necessario trovare un valore corrispondente a 120 gradi. Questo sarà il numero 0.5 con un segno meno. Ora è necessario aprire le parentesi, osservare tutte le regole e dare termini simili:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

Questa equazione quadratica viene risolta trovando il discriminante, che sarà uguale a:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Poiché il suo valore è maggiore di zero, l'equazione ha due risposte radice.

x 1 = ((-24) + √ (9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √ (9216)) / (2 * 3) = -20.

L'ultima radice non può essere la risposta del problema, perché la parte deve essere necessariamente positiva.

Quindi i due lati sono noti. Facile da trovare il terzo: 12 + 8 = 20 (cm). Ora puoi rispondere alla domanda del problema. Perimetro di un triangolo è definita come la somma di tutte le parti:

24 + 12 + 20 = 60 (cm).

Risposta : il perimetro è di 60 centimetri.

lo studente risolve il problema della geometria

Problema numero 2

condizione

Nel triangolo sono noti: c , pari a 2 cm; a , che è di 10 cm; angolo C di 120º. Necessario per trovare una parte in

decisione

Per prima cosa è necessario utilizzare il teorema del coseno e derivare la formula equazione quadratica in cui il valore in sarà sconosciuto:

con 2 = a 2 + in 2 - 2 * a * in * cos C

e

in 2 - (2 * a * cos C) * in + (a 2 - c 2 ) = 0.

È necessario sostituire tutti i valori noti nella condizione:

in 2 - (2 * 10 * cos 120º) * in + (10 2 - 2 2 ) = 0.

Ora dobbiamo contare ciò che è possibile per semplificare l'espressione:

in 2 - (20 * (-1/2)) * in + (100 - 4) = 0

o

in 2 + 10 * in - 96 = 0.

Questa è un'equazione quadratica standard che deve essere risolta trovando il discriminante:

D = (10) 2 - 4 * 1 * (-96) = 484.

Secondo le formule è necessario fare calcoli per il lato sconosciuto:

in 1 = (- 10 + 22) / 2 = 6 (cm);

in 2 = (- 10 - 22) / 2 = - 16 - questa radice non soddisfa la soluzione del problema, perché il lato non può essere negativo.

Risposta: il lato sconosciuto è 6 cm.

insegnante e studenti

Terzo compito

condizione

In alcuni triangoli sono indicati i lati: a, b, c , che sono rispettivamente di 6 cm, 10 cm e 8 cm. È necessario calcolare l'angolo A.

decisione

Ancora una volta è necessario utilizzare il teorema del coseno. Viene usato il suo record, in cui vi è il coseno dell'angolo A, poiché è proprio questo che deve essere calcolato. Ecco la formula per il coseno di un'angolazione sconosciuta:

cos А = (in 2 + с 2 - а 2 ) / (2 в * с).

Resta da sostituire i valori delle parti ed eseguire tutti i calcoli:

cos A = (10 2 + 8 2 - 6 2 ) / (2 * 8 * 10).

Dopo tutti i termini sono quadrati e moltiplicando i numeri dal denominatore:

cos A = (100 + 64 - 36) / (160).

Dopo l'aggiunta e la divisione risulta:

cos A = 128/160 = 0,8.

Ora è necessario utilizzare la tabella Bradis per scoprire quale angolo A. è uguale a.Il valore di angolo più vicino per questo coseno è 36 ° 54 '.

Risposta: il valore dell'angolo A è 36º54 '.