Come trovare l'area di un triangolo equilatero: formule di base

Puoi trovare l'area di un triangolo equilatero usando qualsiasi formula per una figura arbitraria di questo tipo o usa quelli che già tengono conto della particolarità di questa particolare figura e le espressioni matematiche sono state notevolmente semplificate.

Il primo caso richiede solo la sostituzione di tutti i lati con lo stesso valore e tenendo conto che tutti gli angoli del triangolo sono 60º. Quindi sarà necessario effettuare semplici trasformazioni, che porteranno le formule date in forma finita un po 'più in basso.

Formula 1: lato conosciuto

In questa e nelle successive formule è stata adottata la notazione standard per i valori del triangolo. Maggiori dettagli possono essere trovati nella tabella proposta.

Il calcolo dell'area di un triangolo in questo caso verrà eseguito secondo la formula:

S = √3 / 4 * a ² .

Si ottiene facilmente da ciò che è noto per una figura arbitraria con tre lati. Solo nella formula è necessario tenere conto del fatto che tutti i lati del triangolo sono uguali.

Più precisamente, è richiesta la formula di Gerona: S = √ (p (pa) (pb) (pc)). Il valore del semi-perimetro per un triangolo equilatero sarà 3a / 2. Pertanto, l'espressione ((3а / 2) - a) è ottenuta in ogni parentesi sotto la radice. Darà dopo la conversione di a / 2.

Poiché ci sono tre parentesi, questa espressione avrà un terzo grado. Quindi, sarà trasformato in un 3/8.

Ha ancora bisogno di essere moltiplicato per un semi-perimetro, che è definito come la somma dei lati divisi per 2. Si ottiene l'espressione: 3a 4/16. Dopo l'estrazione radice quadrata solo l'espressione che è data nella prima formula per l'area di un triangolo equilatero rimarrà.

Pertanto, non è necessario memorizzare molte formule. Puoi semplicemente ricordare uno - Gerona. Da esso, con semplici trasformazioni matematiche, si ottengono tutti gli altri, ad esempio, per un triangolo equilatero.

Formula 2: il raggio del cerchio inscritto

Questa espressione è molto simile alla voce precedente. Ma ci sono ancora differenze significative: un'altra lettera è usata, l'irrazionalità è andata al denominatore, il fattore 3 è apparso e il numero 4 è scomparso.In generale, è facile da ricordare.

S = 3√3 * r ² .

Questa formula è anche facile da ottenere da quella data per un triangolo arbitrario. In esso, il raggio viene moltiplicato per la somma dei lati e diviso per 4. Poiché i lati hanno lo stesso valore, la somma sarà sostituita da 3a. Ora è necessario rimuovere "a" per rimanere solo il valore del raggio. Ciò richiederà un'espressione in cui il lato è diviso per il prodotto 2 e il seno del lato opposto dell'angolo. Poiché l'angolo è 60º, il valore del seno sarà √3 / 2. Quindi il lato sarà espresso attraverso il raggio come segue: a = √3R. Dopo una semplice trasformazione, puoi venire all'espressione per l'area, che viene data all'inizio.

Formula 3: il circoncillo e il suo raggio sono dati

Lei è molto simile alla prima. Solo nel suo numeratore appare il numero 3 e la lettera è cambiata in R.

S = 3√3 / 4 * R ² .

Dato che il raggio è due volte più grande di quello considerato nel paragrafo precedente, è chiaro come risulta. Sostituisce semplicemente r con r / 2. E vengono eseguite le necessarie trasformazioni.

Pertanto, la formula non può essere ricordata. Basta tenere a mente il rapporto tra i raggi inscritti e descritti attorno ad un triangolo equilatero di cerchi.

Formula 4: altezza nota

In questo caso, l'area di un triangolo equilatero è:

S = n ² / √3.

Per capire come si ottiene questa formula, sarà necessario nuovamente usare il comune per tutti i triangoli. Sembra il prodotto del lato e l'altezza di ½. Ora, per scoprire l'area di un triangolo equilatero, è necessario richiamare o derivare un'espressione matematica per l'altezza.

È facile da imparare se si approfitta del fatto che l'altezza si forma triangolo rettangolo. Quindi, l'altezza può essere trovata come una gamba - dal teorema di Pitagora. La seconda tappa sarà uguale alla metà del lato, poiché l'altezza è anche una mediana (questa è una ben nota proprietà di un triangolo equilatero). Quindi l'altezza sarà determinata come radice quadrata della differenza di due quadrati. Il primo "a" e il secondo "a / 2". Dopo l'erezione nel secondo grado e l'estrazione della radice rimane: n = (√3 / 2) * a. Da questo a = 2n / √3. Dopo averlo sostituito nella formula di base per tutti i triangoli, otteniamo l'espressione che è indicata all'inizio della sezione.

Esempio №1

Condizioni. Calcola l'area di un triangolo equilatero, se è noto che il suo lato è di 4 cm.

La decisione Poiché il valore dei lati della figura è noto, è necessario utilizzare la prima formula.

Per prima cosa devi quadrare il numero 4. Da questa azione ottieni il numero 16. Ora è ridotto con i quattro in piedi nel denominatore. E come risultato, 4 e √3 rimangono nel numeratore e il denominatore diventa uguale a uno, il che significa che semplicemente non può essere registrato. Questo è il risultato che è stato necessario trovare nel problema.

Risposta: 4√3 cm ² .

Esempio 2

Condizioni. Tutti i lati di un triangolo equilatero sono uguali a 2 √ 2 dm. Calcola la sua area.

La decisione Gli argomenti sono gli stessi del primo compito. Solo il valore del quadrato laterale sarà diverso. Deve essere costruito separatamente secondo grado 2 e irrazionalità. E il risultato sarà il seguente: 4 * 2 = 8. Dopo la riduzione con il denominatore, 2 e √3 rimangono nel numeratore della frazione, e il denominatore scompare.

Risposta: 2√3 dm ² .

Esempio numero 3

Condizioni. Un cerchio è inscritto in un triangolo equilatero, il suo raggio è di 2,5 cm. È necessario calcolare l'area del triangolo.

La decisione Per calcolare il valore desiderato, è necessario utilizzare la seconda formula.

Innanzitutto, il valore del raggio deve essere quadrato. Risulta 6.25. Quindi questo valore è richiesto per essere moltiplicato per 3. Il risultato di questa azione sarà il numero 18.75. Ma questo non è il valore finale: avrà un fattore di √3, che è presente nella formula usata.

La risposta: 18.75√3 cm ² .

Esempio 4

Condizioni. È necessario determinare quale sia l'area di un triangolo equilatero uguale alla sua altezza - 3 dm.

La decisione Ovviamente, devi scegliere la quarta formula. Con il suo aiuto, il modo più semplice per trovare la risposta a questo problema.

Basta semplicemente quadrare il numero 3, cioè l'altezza, che darà il valore 9. E poi dividerlo per √3, in piedi nella formula.

Poiché non è consuetudine in matematica lasciare l'irrazionalità nel denominatore della risposta, è necessario liberarsene. Per fare ciò, la frazione 9 / √3 dovrà essere moltiplicata per la frazione con lo stesso numeratore e denominatore, cioè √3 / √3. Da questa azione, il valore 9√3 appare nel numeratore e il numero 3 appare nel denominatore.

Questa frazione può e dovrebbe essere ridotto di 3. Questo è il risultato finale.

Risposta: l' area è 3√3 dm ² .

Esempio numero 5

Condizioni. Viene dato un triangolo equilatero con un'area di 27 cm ² . Con questo valore è necessario conoscere la lunghezza del lato della figura.

La decisione Dato che questo riguarda il lato, la prima formula lo farà. Da esso, è possibile derivare immediatamente un'espressione matematica che consente di determinare il lato del triangolo.

Per fare ciò, l'area deve essere moltiplicata per 4 e divisa per la radice quadrata di tre. Quindi prendi il valore per il lato nel quadrato. Per ottenere solo il lato, è necessario estrarre la radice. L'espressione per il lato sarà simile a questa: a = 2 * √ (S / √3).

Poiché l'area è nota, è possibile procedere immediatamente ai calcoli. Un'espressione radicale assomiglia a un quoziente 27 e √3. Hai bisogno di liberarti dell'irrazionalità nel denominatore. Risulta essere 27√3, diviso per 3. Dopo la riduzione, 1 rimane nel denominatore, che non puoi scrivere, e 9√3 rimane nel numeratore.

Il prossimo passo è quello di estrarre la radice dall'espressione risultante. Il primo fattore dà un valore di 3. Ma il secondo, √3, richiede attenzione. Per semplificare l'attività, è possibile estrarre queste radici e arrotondare i valori.

√3 = 1,73; ora estraiamo di nuovo la radice da esso e otteniamo 1.32.

Resta solo da moltiplicare per 2 e ottenere il risultato desiderato.

Risposta: il lato è uguale a 2,64 cm.