Teorema di Poincaré in parole semplici

Jules Henri Poincaré (1854-1912) era a capo dell'Accademia delle scienze di Parigi ed è stato eletto accademie scientifiche in 30 paesi del mondo. Aveva la scala di Leonardo: i suoi interessi riguardavano la fisica, la meccanica, l'astronomia, la filosofia. I matematici di tutto il mondo dicono ancora che solo due persone nella storia conoscevano davvero questa scienza: il tedesco David Gilbert (1862-1943) e Poincaré.

Nel 1904, lo scienziato pubblicò un documento contenente, tra le altre cose, un'ipotesi, chiamata il teorema di Poincaré. La ricerca di prove della verità di questa affermazione è durata circa un secolo.

Topologia del fondatore

Il genio matematico di Poincaré è impressionante nel numero di sezioni della scienza, dove ha sviluppato le basi teoriche di vari processi e fenomeni. In un'epoca in cui gli scienziati facevano progressi nei nuovi mondi del cosmo e nelle profondità dell'atomo, era impossibile fare a meno di una singola base della teoria generale dell'universo. Precedenti branche della matematica sono diventate una tale base.

Poincaré stava cercando una nuova visione della meccanica celeste, ha creato una teoria qualitativa delle equazioni differenziali, una teoria delle funzioni automorfe. Lo scienziato ricercatore divenne la base teoria della relatività speciale Einstein. Il teorema di Poincaré al ritorno diceva, tra le altre cose, che era possibile comprendere le proprietà degli oggetti o dei fenomeni globali esaminando le particelle e gli elementi costitutivi. Ciò ha dato un forte impulso alla ricerca scientifica in fisica, chimica, astronomia, ecc.

La geometria è una branca della matematica in cui Poincaré è diventato un innovatore riconosciuto e un leader mondiale. La teoria di Lobachevsky, che apriva nuove dimensioni e spazi, aveva ancora bisogno di un modello chiaro e logico, e Poincaré diede alle idee del grande scienziato russo un carattere applicato.

Lo sviluppo della geometria non-Euclidea fu l'emergere della topologia - una branca della matematica, che fu chiamata la geometria del posizionamento. Studia le relazioni spaziali di punti, linee, piani, corpi, ecc. senza riguardo alle loro proprietà metriche. Il teorema di Poincaré, che divenne il simbolo dei problemi più intrattabili nella scienza, sorse precisamente nelle profondità della topologia.

Uno degli obiettivi del sette millennio

All'inizio del 21 ° secolo, una delle divisioni dell'Università americana di Cambridge - un istituto matematico basato sui mezzi dell'uomo d'affari Landon T. Clay - pubblicò una lista di problemi del millennio (problemi del millennio). Conteneva sette punti da problemi scientifici classici, per la soluzione di ognuno dei quali è stato stabilito un premio di un milione di dollari:

• Uguaglianza delle classi P e NP (sulla corrispondenza degli algoritmi per la risoluzione del problema e dei metodi per verificarne la correttezza).
• L'ipotesi di Hodge (sulla connessione di oggetti e la loro somiglianza, compilata per il loro studio da "mattoni" con determinate proprietà).
• Congettura di Poincaré (ogni varietà tridimensionale compatta semplicemente connessa senza un confine è omeomorfa a una sfera tridimensionale).
• Ipotesi di Riemann (sulla regolarità del posizionamento dei numeri primi).
• La teoria di Yang - Mills (equazioni dal campo delle particelle elementari, che descrive vari tipi di interazioni).
• Esistenza e scorrevolezza delle soluzioni delle equazioni di Navier - Stokes (descrivere la turbolenza dell'aria e dei flussi di fluido).
• Congettura di betulla - Swinnerton-Dyer (su equazioni che descrivono le curve ellittiche).

Ogni problema ha avuto una storia molto lunga, la ricerca della loro soluzione ha portato all'emergere di nuovi campi scientifici, ma le uniche risposte corrette alle domande poste non sono state trovate. Capire le persone diceva che il denaro della Fondazione Clay era sicuro, ma fu solo fino al 2002 - colui che dimostrò che il teorema di Poincaré appariva. È vero, non ha preso i soldi.

Formulazione classica

L'ipotesi per cui si trova la conferma diventa il teorema che ha la prova corretta. Questo è esattamente quello che è successo con la proposta di Poincaré sulle proprietà delle sfere tridimensionali. In una forma più generale, questo postulato parlava dell'omeomorfismo di ogni varietà di dimensione n e di una sfera di dimensione n come condizione necessaria per la loro equivalenza omotopica. L'ormai famoso teorema di Poincaré si riferisce alla variante quando n = 3. Fu proprio nello spazio tridimensionale che i matematici attesero difficoltà, per altri casi le prove furono trovate più velocemente.

Per comprendere almeno un po 'il significato del teorema di Poincaré, non si può fare a meno di familiarizzare con i concetti di base della topologia.

omeomorfismo

Parlando di omeomorfismo, la topologia la definisce come una corrispondenza uno-a-uno tra i punti dell'una e dell'altra figura, in un certo senso, l'indistinguibilità. Il teorema di Poincaré è difficile da dare a chi non è preparato. Per le teiere, puoi dare l'esempio più popolare di figure omeomorfe: una palla e un cubo, una ciambella e un cerchio sono anche omeomorfi, ma non un cerchio e un cubo. Le figure sono omeomorfe se una figura può essere ottenuta da una deformazione arbitraria da un'altra, e questa trasformazione è limitata da alcune proprietà della superficie della figura: non può essere strappata, forata, tagliata.

Se il cubo è gonfiato, può facilmente diventare una palla, se la palla viene schiacciata da movimenti in arrivo, puoi ottenere un cubo. La presenza di un foro in una ciambella e un foro formato dal manico di un cerchio, li rende omeomorfi, lo stesso foro rende impossibile trasformare un cerchio in una palla o un cubo.

coerenza

Un buco è un concetto importante che definisce le proprietà di un oggetto, ma la categoria non è assolutamente matematica. È stato introdotto il concetto di connettività. Contiene molti postulati topologici, incluso il teorema di Poincaré. In parole semplici, puoi dire questo: se avvolgi la superficie di una palla con un passante in elastico, scivolerà e striscerà. Questo non accadrà se c'è un buco, come un toro ciambella, attraverso il quale puoi passare questo nastro. Pertanto, viene determinato il segno principale di somiglianza o differenza di oggetti.

diversità

Se un oggetto o uno spazio è diviso in una pluralità di parti componenti - i quartieri che circondano un punto - allora la loro generalità è chiamata molteplicità. È questo concetto che contiene il teorema di Poincaré. Compattezza significa un numero finito di elementi. Ogni singolo quartiere obbedisce alle leggi della geometria tradizionale - euclidea, ma insieme formano qualcosa di più complesso.

L'analogia più adeguata di queste categorie è la superficie della terra. L'immagine della sua superficie è una mappa delle sue singole aree, raccolte in un atlante. Sul globo, queste immagini prendono la forma di una palla, che, in relazione allo spazio dell'Universo, si trasforma in un punto.

Sfera tridimensionale

Per definizione, una sfera è una raccolta di punti equidistanti dal centro: un punto fisso. La sfera unidimensionale si trova in uno spazio bidimensionale sotto forma di un cerchio su un piano. Sfera bidimensionale - la superficie della palla, la sua "crosta" - un insieme di punti nello spazio tridimensionale e, di conseguenza, la sfera tridimensionale - sono l'essenza del teorema di Poincaré - la superficie di una palla quadridimensionale. È molto difficile immaginare un simile oggetto, ma, dicono, siamo all'interno di un corpo così geometrico.

I matematici danno anche la seguente descrizione di una sfera tridimensionale: supponiamo che al nostro spazio usuale, considerato illimitato e definito da tre coordinate (X, Y, Z), venga aggiunto un punto (all'infinito) in modo tale che possa sempre essere inserito spostandosi in qualsiasi direzione in linea retta, ad es. qualsiasi linea in questo spazio diventa un cerchio. Si dice che ci siano persone che possono immaginare questo e orientarsi con calma in un mondo del genere.

Per loro, la solita cosa: un toro tridimensionale. Un tale oggetto può essere ottenuto dalla doppia ripetizione di due in un punto, posizionata su facce opposte (ad esempio, destra e sinistra, superiore e inferiore) del cubo. Per provare ad immaginare un toro tridimensionale dalle nostre solite posizioni, si dovrebbe condurre un esperimento assolutamente irreale: è necessario scegliere le direzioni, reciprocamente perpendicolari, - in alto, a sinistra e in avanti - e iniziare a muoversi in una di esse in linea retta. Dopo un po '(finito) di tempo dalla direzione opposta, torniamo al punto di partenza.

Un tale corpo geometrico è di fondamentale importanza se vuoi capire che cos'è il teorema di Poincaré. La dimostrazione di Perelman si riduce alla giustificazione dell'esistenza nello spazio tridimensionale di una sola varietà compatta semplicemente connessa: le 3 sfere, altre, come il 3-toro, non sono semplicemente collegate.

Lunga strada verso la verità

Più di mezzo secolo passò prima che la soluzione del teorema di Poincaré per più di 3 dimensioni apparve. Steven Smale (nato nel 1930), John Robert Stelling (1935-2008), Eric Christopher Ziman (nato nel 1925) trovò una soluzione per n uguale a 5, 6 e uguale o superiore a 7. Solo nel 1982 Michael Friedman (nato nel 1951 ) è stato insignito del più alto riconoscimento matematico - il Fields Premium - per aver dimostrato il teorema di Poincaré per un caso più complesso: quando n = 4. Nel 2006, questo premio - la Medaglia Fields - è stato assegnato alla matematica russa di San Pietroburgo. Gregory Yakovlevich Perelman ha dimostrato il teorema di Poincaré per una varietà tridimensionale e una sfera tridimensionale. Si è rifiutato di ricevere il premio.

Genio ordinario

Grigory Yakovlevich è nato il 13 giugno a Leningrado, in una famiglia intelligente. Suo padre, un ingegnere elettrotecnico, andò in Israele per una residenza permanente nei primi anni '90, sua madre insegnò matematica in una scuola professionale. Oltre all'amore per la buona musica, ha instillato nel figlio una passione per risolvere problemi e enigmi. Nel IX grado, Gregory si è trasferito alla Scuola di Fisica e Matematica n. 239, ma dal 5 ° grado ha frequentato il Centro di Matematica presso il Palazzo dei Pionieri. Le vittorie in tutte le Olimpiadi internazionali e dell'Unione hanno permesso a Perelman di entrare all'Università di Leningrado senza esami.

Molti esperti, in particolare il russo, sostengono che Grigori Yakovlevich era preparato per un decollo senza precedenti da parte della classe alta della scuola di geometra di Leningrado, che ha passato al dipartimento di meccanica dell'Università statale di Leningrado e alla scuola di specializzazione presso l'Istituto di matematica. VA Steklov. diventando Candidato delle scienze ha iniziato a lavorarci. Il difficile momento degli anni '90 costrinse un giovane scienziato a recarsi a lavorare negli Stati Uniti. Coloro che lo conoscevano notarono allora il suo ascetismo nella vita di tutti i giorni, la dedizione al lavoro, la preparazione eccellente e l'alta erudizione, che divennero la garanzia che Perelman dimostrò il teorema di Poincaré. Ha affrontato questo problema da vicino dopo essere tornato a San Pietroburgo nel 1996, ma ha iniziato a pensarci negli Stati Uniti.

Giusta direzione

Grigory Yakovlevich nota di essere stato sempre affascinato da problemi complessi, come il teorema di Poincaré. Perelman iniziò a cercare prove nella direzione presa dalla conversazione con il professore della Columbia University, Richard Hamilton (nato nel 1943). Durante la sua permanenza negli Stati Uniti, ha viaggiato in particolare da un'altra città alle lezioni di questo straordinario scienziato. Perelman nota l'eccellente atteggiamento benevolo del professore nei confronti del giovane matematico russo. Nella loro conversazione, Hamilton menzionò i flussi di Ricci - un sistema di equazioni differenziali - come un modo per risolvere i teoremi di geometrizzazione. Successivamente, Perelman ha cercato di contattare Hamilton e discutere i progressi del lavoro sull'attività, ma non ha ricevuto risposta. Per molto tempo, dopo essere tornato in patria, Grigori Yakovlevich trascorse da solo il compito più difficile, che era il teorema di Poincaré. La prova di Perelman è il risultato di uno sforzo tremendo e di abnegazione.

Hamilton si arrestò quando vide che sotto le trasformazioni delle curve sotto l'azione dei flussi di Ricci, si formavano zone singolari (che si trasformavano in infinito), che non erano previste dal teorema di Poincaré. In parole semplici, Perelman è riuscito a neutralizzare la formazione di tali zone e la diversità si è trasformata in modo sicuro in una sfera.

Flussi di Ricci

Un collettore tridimensionale semplicemente connesso è dotato di geometria, vengono introdotti elementi metrici con distanza e angoli. È più facile capirlo su varietà unidimensionali. Una curva chiusa regolare su un piano euclideo è dotata in ogni punto di un vettore tangente di lunghezza unitaria. Quando si attraversa una curva, il vettore ruota a una certa velocità angolare, che determina la curvatura. Dove la linea è più curva, la curvatura è maggiore. La curvatura è positiva se il vettore di velocità è rivolto verso l'interno del piano che divide la nostra linea, e negativo se è rivolto verso l'esterno. Ai punti di flesso, la curvatura è 0.

Ora ad ogni punto della curva viene assegnato un vettore perpendicolare al vettore. velocità angolare e una lunghezza pari al valore di curvatura. La sua direzione è verso l'interno con curvatura positiva e verso l'esterno con negativo. Ogni punto è fatto per muoversi nella direzione e con la velocità determinata dal vettore corrispondente. Una curva chiusa disegnata ovunque nel piano, con una tale evoluzione si trasforma in un cerchio. Questo è vero per la dimensione 3, che è ciò che era necessario dimostrare.

Non c'è profeta ...

Andò al suo Everest, che è riconosciuto dai matematici teorema di Poincaré. Proof Perelman pubblicato su Internet sotto forma di tre piccoli articoli. Hanno immediatamente suscitato scalpore, anche se il matematico russo non ha intrapreso il percorso necessario - la pubblicazione in una rivista specializzata accompagnata da recensioni professionali. Grigory Yakovlevich ha spiegato l'essenza della sua scoperta presso le università statunitensi per un mese, ma il numero di persone che hanno compreso appieno il suo modo di pensare è aumentato molto lentamente.

Solo quattro anni dopo, apparvero le conclusioni delle più grandi autorità: le prove del matematico russo sono corrette, il primo dei problemi del millennio è stato risolto.

L'era dei social network

Doveva sopportare l'eccitazione e la maleducazione nei social network, il silenzio di coloro che rispettava e le grida di altri che gli insegnavano la vita. I cinesi energici hanno stimato per la prima volta il suo contributo alla risoluzione del problema al 25%, contando 80 per se stessi e per gli altri! Quindi sembra che il riconoscimento mondiale sia arrivato, ma non tutti lo possono sopportare. Voglio credere: ha sopportato, e nella sua vita, l'armonia dei desideri e delle opportunità.