Teoria della probabilità: formule ed esempi di problem solving

"Gli incidenti non sono casuali" ... Sembra come se il filosofo dicesse, ma in realtà, studiare la casualità è il grosso della grande scienza della matematica. In matematica, la teoria della probabilità si occupa della casualità. Formule ed esempi di compiti, così come le definizioni di base di questa scienza saranno presentate nell'articolo.

Cos'è la teoria della probabilità?

La teoria della probabilità è una delle discipline matematiche che studia gli eventi casuali.

Per renderlo un po 'più chiaro, facciamo un piccolo esempio: se lanci una moneta, può cadere con un "aquila" o "croce". Mentre la moneta è nell'aria, entrambe queste probabilità sono possibili. Cioè, la probabilità di possibili conseguenze è 1: 1. Se dal mazzo con 36 carte per estrarne una, allora la probabilità sarà denotata come 1:36. Sembrerebbe che non ci sia nulla da esplorare e prevedere, specialmente con l'aiuto di formule matematiche. Tuttavia, se si ripete una determinata azione molte volte, è possibile identificare un determinato modello e, in base ad esso, prevedere il risultato degli eventi in altre condizioni.

Per riassumere tutto quanto sopra, la teoria della probabilità nel senso classico studia la possibilità che si verifichi uno degli eventi possibili in un valore numerico.

Dalle pagine della storia

La teoria della probabilità, le formule e gli esempi dei primi compiti apparvero nel lontano Medioevo, quando per la prima volta furono fatti tentativi per prevedere l'esito dei giochi di carte.

Inizialmente, la teoria della probabilità non aveva nulla a che fare con la matematica. Era basato su fatti empirici o proprietà di un evento che poteva essere riprodotto nella pratica. I primi lavori in questo campo, come nella disciplina matematica, apparvero nel 17 ° secolo. Blaise Pascal e Pierre Fermat sono diventati antenati. Per molto tempo, hanno studiato il gioco d'azzardo e hanno visto alcuni modelli, che hanno deciso di dire alla società.

Christian Huygens ha inventato la stessa tecnica, anche se non aveva familiarità con i risultati di Pascal e Fermat. Il concetto di "teoria della probabilità", formule ed esempi che sono considerati i primi nella storia della disciplina, sono stati introdotti da lui.

Di non piccola importanza sono le opere di Jacob Bernoulli, i teoremi di Laplace e Poisson. Hanno reso la teoria della probabilità più simile a una disciplina matematica. La teoria della probabilità, le formule e gli esempi di compiti di base hanno la loro forma attuale grazie agli assiomi di Kolmogorov. Come risultato di tutti i cambiamenti, la teoria della probabilità è diventata una delle sezioni matematiche.

Concetti di base della teoria della probabilità. eventi

Il concetto principale di questa disciplina è "evento". Gli eventi sono di tre tipi:

• Affidabile. Quelli che accadono in ogni caso (la moneta cadrà).
• Impossibile. Eventi che non accadono in nessun caso (la moneta rimarrà sospesa nell'aria).
• Random. Quelli che succedono o non succederanno. Possono essere influenzati da vari fattori che sono molto difficili da prevedere. Se parliamo di una moneta, allora fattori casuali che possono influenzare il risultato: le caratteristiche fisiche della moneta, la sua forma, la posizione iniziale, la potenza di lancio, ecc.

Tutti gli eventi negli esempi sono indicati con lettere maiuscole, ad eccezione di P, a cui viene assegnato un ruolo diverso. Ad esempio:

• A = "gli studenti sono venuti alla conferenza".
• Â = "gli studenti non hanno partecipato alla lezione".

Nei compiti pratici, gli eventi sono solitamente scritti a parole.

Una delle caratteristiche più importanti degli eventi è la loro pari opportunità. Cioè, se si lancia una moneta, tutte le variazioni della goccia originale sono possibili finché non cade. Ma anche gli eventi non sono ugualmente possibili. Questo accade quando qualcuno influenza in modo specifico il risultato. Ad esempio, "segnato" carte da gioco o dadi, in cui viene spostato il centro di gravità.

Più eventi sono compatibili e incompatibili. Gli eventi compatibili non si escludono a vicenda. Ad esempio:

• A = "lo studente è venuto alla conferenza".
• B = "lo studente è venuto alla conferenza".

Questi eventi sono indipendenti l'uno dall'altro e l'aspetto di uno di essi non influisce sull'aspetto dell'altro. Gli eventi incompatibili sono determinati dal fatto che l'aspetto di uno esclude l'aspetto di un altro. Se parliamo della stessa moneta, la perdita della "coda" rende impossibile per l'aquila apparire nello stesso esperimento.

Azioni sugli eventi

Gli eventi possono essere moltiplicati e aggiunti, rispettivamente, nella disciplina in cui vengono introdotti i pacchetti logici di "AND" e "OR".

L'importo è determinato dal fatto che potrebbe esserci un evento A, o B o due allo stesso tempo. Nel caso in cui siano incompatibili, la seconda opzione è impossibile, A o B cadranno.

La moltiplicazione degli eventi consiste nell'apparizione di A e B contemporaneamente.

Ora puoi dare alcuni esempi per ricordare meglio le basi, la teoria della probabilità e le formule. Esempi di risoluzione dei problemi di seguito.

Compito 1 : La società partecipa al concorso per contratti per tre tipi di lavoro. Possibili eventi che possono verificarsi:

• A = "la ditta riceverà il primo contratto."
• A ₁ = "la ditta non riceverà il primo contratto".
• B = "la ditta riceverà un secondo contratto."
• In ₁ = "la ditta non riceverà il secondo contratto"
• C = "la ditta riceverà il terzo contratto."
• C ₁ = "la ditta non riceverà il terzo contratto."

Usando le azioni sugli eventi, proviamo ad esprimere le seguenti situazioni:

• K = "la ditta riceverà tutti i contratti".

In forma matematica, l'equazione avrà la seguente forma: K = ABC.

• M = "la ditta non riceverà un singolo contratto".

M = A ₁ B ₁ C ₁ .

Complicare l'attività: H = "la società riceverà un contratto". Poiché non è noto quale tipo di contratto riceverà l'azienda (primo, secondo o terzo), è necessario registrare l'intera gamma di possibili eventi:

H = A ₁ BC ₁ υ AB ₁ C ₁ υ A ₁ B ₁ C.

E ₁ BC ₁ è una serie di eventi in cui l'impresa non riceve il primo e il terzo contratto, ma riceve il secondo. Altri possibili eventi sono registrati di conseguenza. Il simbolo υ nella disciplina indica un gruppo di "OR". Se traduci l'esempio dato in una lingua umana, l'azienda riceverà o un terzo contratto, o un secondo o primo. Allo stesso modo, è possibile registrare altre condizioni nella disciplina "Teoria della probabilità". Le formule e gli esempi di risoluzione dei problemi presentati sopra aiuteranno a farlo da soli.

In realtà, la probabilità

Forse in questa disciplina matematica la probabilità di un evento è il concetto centrale. Ci sono 3 definizioni di probabilità:

• classica;
• statistica;
• Geometrico.

Ognuno ha il suo posto nello studio delle probabilità. Teoria della probabilità, formule ed esempi (grado 9) usano principalmente la definizione classica, che suona come questa:

• La probabilità della situazione A è uguale al rapporto tra il numero di risultati, che ne favorisce il verificarsi, al numero di tutti i possibili risultati.

La formula è la seguente: P (A) = m / n.

P sta per probabilità di evento A.

E - in realtà, un evento. Se c'è un caso opposto ad A, può essere scritto come À o A ₁ .

m è il numero di possibili casi favorevoli.

n - tutti gli eventi che possono verificarsi.

Ad esempio, A = "estrai la carta del seme del cuore". Ci sono 36 carte in un mazzo standard, 9 di loro sono del seme del cuore. Di conseguenza, la formula per risolvere l'attività sarà:

P (A) = 9/36 = 0,25.

Di conseguenza, la probabilità che una carta del seme del cuore sia pescata dal mazzo sarà di 0,25.

Alla matematica superiore

Ora è diventato poco conosciuto quale sia la teoria della probabilità, le formule e gli esempi di risoluzione dei compiti che si incontrano nel programma scolastico. Tuttavia, la teoria della probabilità si trova nella matematica superiore, che viene insegnata nelle università. Molto spesso operano su definizioni geometriche e statistiche della teoria e di formule complesse.

La teoria della probabilità è molto interessante. Formule ed esempi (matematica superiore) è meglio iniziare a studiare da una piccola - con una definizione statistica (o frequenza) di probabilità.

L'approccio statistico non contraddice il classico, ma lo espande leggermente. Se nel primo caso era necessario determinare la probabilità di un evento, in questo metodo è necessario indicare con quale frequenza si verificherà. Qui introduciamo un nuovo concetto di "frequenza relativa", che può essere indicato con W _n (A). La formula non è diversa dal classico:

W _n (A) = m / n.

Se la formula classica viene calcolata per la predizione, allora la formula statistica è in base ai risultati dell'esperimento. Prendi, ad esempio, un piccolo compito.

Il reparto di controllo del processo controlla i prodotti per la qualità. Tra i 100 prodotti trovati 3 scadenti. Come trovare la probabilità della frequenza di un prodotto di qualità?

A = "l'emergere di un prodotto di qualità".

W _n (A) = 97/100 = 0,97

Pertanto, la frequenza dei beni di qualità è 0,97. Dove hanno preso 97? Dei 100 prodotti che sono stati controllati, 3 erano di scarsa qualità. Da 100 sottraiamo 3, otteniamo 97, questa è la quantità di un prodotto di qualità.

Un po 'di combinatoria

Un altro metodo di teoria della probabilità è chiamato combinatoria. Il suo principio di base è che se una certa scelta di A può essere fatta in m modi diversi, e la scelta di B è n in modi diversi, allora la scelta di A e B può essere fatta per moltiplicazione.

Ad esempio, dalla città A alla città B conduce a 5 strade. Dalla città B alla città C conduce in 4 modi. Quanti modi puoi ottenere dalla città A alla città C?

È semplice: 5x4 = 20, ovvero venti diversi modi per ottenere dal punto A al punto C.

Complichiamo il compito Quanti modi ci sono per giocare a carte nel solitario? In un mazzo di 36 carte, questo è il punto di partenza. Per scoprire il numero di metodi, devi "togliere" una mappa dal punto di partenza e moltiplicare.

Cioè, 36x35x34x33x32 ... x2x1 = il risultato non si adatta allo schermo della calcolatrice, quindi puoi semplicemente segnarlo 36!. Il segno "!" Accanto a un numero indica che l'intera riga di numeri viene moltiplicata insieme.

In combinatoria, ci sono concetti come permutazione, posizionamento e combinazione. Ognuno di loro ha la sua formula.

Un insieme ordinato di elementi di un set è chiamato layout. I posizionamenti possono essere ripetuti, ovvero un elemento può essere utilizzato più volte. E senza ripetizione, quando gli elementi non vengono ripetuti. n sono tutti gli elementi, m sono elementi che partecipano al posizionamento. La formula per il posizionamento senza ripetizioni sarà:

A _n ^m = n! / (Nm)!

I composti di n elementi che differiscono solo nell'ordine di posizionamento sono chiamati permutazione. In matematica, ha la forma: P _n = n!

Combinazioni di n elementi di m sono chiamate tali composti, in cui è importante ciò che erano e qual è il loro numero totale. La formula sarà:

A _n ^m = n! / M! (Nm)!

Formula di Bernoulli

Nella teoria della probabilità, così come in ogni disciplina, ci sono opere di ricercatori eccellenti nel loro campo, che l'hanno portata ad un nuovo livello. Uno di questi è la formula di Bernoulli, che consente di determinare la probabilità che un determinato evento si verifichi in condizioni indipendenti. Ciò suggerisce che l'aspetto di A nell'esperimento non dipende dall'aspetto o dalla non apparizione dello stesso evento nei test precedenti o successivi.

Equazione di Bernoulli:

= C _n ^m ×p ^m ×q ^nm . P _n (m) = C _n ^m × p ^m × q ^nm .

La probabilità (p) dell'occorrenza di un evento (A) è invariata per ogni prova. La probabilità che la situazione si verifichi esattamente m volte nel numero di esperimenti sarà calcolata con la formula presentata sopra. Di conseguenza, sorge la domanda su come trovare il numero q.

q = 1-p

Se l'evento A si verifica p un numero di volte, rispettivamente, potrebbe non verificarsi. Un'unità è un numero che viene utilizzato per designare tutti i risultati di una situazione in una disciplina. Pertanto, q è un numero che indica la possibilità di non verificarsi di un evento.

Ora conosci la formula di Bernoulli (teoria della probabilità). Esempi di risoluzione dei problemi (primo livello) saranno considerati ulteriormente.

Attività 2: un visitatore del negozio effettua un acquisto con una probabilità di 0,2. 6 visitatori sono entrati nel negozio in modo indipendente. Qual è la probabilità che un visitatore effettui un acquisto?

Soluzione: Poiché non si sa quanti visitatori debbano effettuare un acquisto, uno o tutti e sei, è necessario calcolare tutte le probabilità possibili utilizzando la formula di Bernoulli.

A = "il visitatore effettuerà un acquisto".

In questo caso: p = 0,2 (come indicato nell'assegnazione). Di conseguenza, q = 1-0.2 = 0.8.

n = 6 (dal momento che ci sono 6 visitatori nel negozio). Il numero m varia da 0 (nessun cliente effettua un acquisto) a 6 (tutti i visitatori del negozio riceveranno qualcosa). Di conseguenza, otteniamo la soluzione:

= C ₀ ⁶ ×p ⁰ ×q ⁶ =q ⁶ = (0,8) ⁶ P ₆ (0) = C ₀ ⁶ × p ⁰ × q ⁶ = q ⁶ = (0.8) ⁶ 0,2621. = 0,2621.

Nessuno degli acquirenti effettuerà un acquisto con una probabilità di 0,2621.

In quale altro modo viene utilizzata la formula di Bernoulli (teoria della probabilità)? Esempi di problem solving (secondo livello) di seguito.

Dopo l'esempio precedente, sorgono le domande su dove sono andati a finire C e p. Rispetto a p, il numero nel grado 0 sarà uguale a uno. Per quanto riguarda C, può essere trovato dalla formula:

C _n ^m n! = n! m!(nm)! / m! (nm)!

Poiché nel primo esempio, m = 0, rispettivamente, C = 1, che in linea di principio non influisce sul risultato. Usando la nuova formula, proviamo a scoprire quale sia la probabilità di acquistare beni da due visitatori.

= C ₆ ² ×p ² ×q ⁴ = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) ² P ₆ (2) = C ₆ ² × p ² × q ⁴ = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) ² (0,8) ⁴ × (0.8) ⁴ 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

La teoria della probabilità non è così complicata. La formula di Bernoulli, esempi dei quali sono presentati sopra, ne è una prova diretta.

Formula di Poisson

L'equazione di Poisson viene utilizzata per calcolare situazioni casuali improbabili.

La formula di base:

P _n (m) = λ ^m / m! e ^(-λ) . × e ^(-λ) .

In questo caso, λ = n x p. Ecco una semplice formula di Poisson (teoria della probabilità). Esempi di risoluzione dei problemi saranno considerati in seguito.

Attività 3 : le parti fabbricate in fabbrica nella quantità di 100.000 pezzi. L'aspetto delle parti difettose = 0,0001. Qual è la probabilità che la parte sia 5 parti difettose?

Come vediamo, il matrimonio è un evento improbabile, e quindi la formula di Poisson (teoria della probabilità) viene utilizzata per il calcolo. Esempi di risoluzione di problemi di questo tipo non sono diversi da altri compiti della disciplina, nella formula precedente sostituiamo i dati necessari:

A = "una parte selezionata a caso sarà difettosa."

p = 0,0001 (in base alle condizioni dell'attività).

n = 100.000 (numero di parti).

m = 5 (parti difettose). Sostituisci i dati nella formula e otteniamo:

R _100.000 (5) = 10 5/5! X e ^-10 = 0,0375.

Proprio come la formula di Bernoulli (teoria della probabilità), esempi di soluzioni con l'aiuto di cui sopra sono scritte, l'equazione di Poisson ha una e sconosciuta. In sostanza, può essere trovata dalla formula:

e- ^λ = lim _{n -> ∞} (1-λ / n) ⁿ .

Tuttavia, esistono tabelle speciali in cui si trovano quasi tutti i valori e.

Il teorema di Moivard-Laplace

Se nello schema di Bernoulli il numero di test è sufficientemente ampio e la probabilità di accadimento dell'evento A è la stessa in tutti gli schemi, allora la probabilità di accadimento dell'evento A è determinata da un certo numero di volte in una serie di test usando la formula di Laplace

P _n (m) = 1 / √ npq x φ (X _m ).

X _m = m-np / √npq.

Per meglio ricordare la formula di Laplace (teoria della probabilità), esempi di problemi per aiutare di seguito.

Compito 4: un agente pubblicitario distribuisce 800 volantini. Secondo studi statistici, ogni terzo foglio trova il suo consumatore. Qual è la probabilità che esattamente 267 volantini funzionino?

n = 800;

m = 267;

p = 1/3;

q = 2/3.

Prima troviamo X _m , sostituiamo i dati (sono tutti elencati sopra) nella formula e otteniamo 0.025. Usando le tabelle, troviamo il numero φ (0.025), il cui valore è 0.3988. Ora puoi sostituire tutti i dati nella formula:

P ₈₀₀ (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Quindi la probabilità che volantino funzionerà esattamente 267 volte, è 0,03.

Formula Bayes

La formula bayesiana (teoria della probabilità), esempi di risoluzione dei compiti con l'aiuto di cui verrà dato di seguito, è un'equazione che descrive la probabilità di un evento, in base a circostanze che potrebbero essere associate ad esso. La formula di base è la seguente:

Р (А | B) = Р (В | А) х Р (А) / Р (В).

A e B sono determinati eventi.

P (A | B) è una probabilità condizionale, ovvero l'evento A può verificarsi a condizione che l'evento B sia vero.

P (B | A) - probabilità condizionale dell'evento B.

Quindi, la parte finale del piccolo corso "Theory of Probability" è la formula di Bayes, esempi di soluzioni di problemi con i quali di seguito.

Compito 5 : i telefoni di tre società sono stati portati nel magazzino. Allo stesso tempo, parte dei telefoni fabbricati presso il primo impianto è del 25%, il secondo - il 60%, il terzo - il 15%. È anche noto che la percentuale media di prodotti difettosi nel primo stabilimento è del 2%, nel secondo - 4% e nel terzo - 1%. È necessario trovare la probabilità che un telefono selezionato a caso sia difettoso.

A = "telefono preso a caso".

B ₁ è il telefono prodotto dalla prima fabbrica. Di conseguenza, ci saranno introduttivi B2 e ₃ (per la seconda e la terza fabbrica).

Di conseguenza, otteniamo:

P (B ₁ ) = 25% / 100% = 0,25; P (B ₂ ) = 0,6; P (B ₃ ) = 0,15 - quindi abbiamo trovato la probabilità di ciascuna opzione.

Ora devi trovare le probabilità condizionali dell'evento desiderato, cioè la probabilità di prodotti difettosi nelle aziende:

P (A / B ₁ ) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B ₂ ) = 0,04;

P (A / B ₃ ) = 0,01.

Ora sostituiremo i dati nella formula di Bayes e otteniamo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

L'articolo presenta la teoria della probabilità, le formule e gli esempi di risoluzione dei problemi, ma questa è solo la punta dell'iceberg di una vasta disciplina. E dopo tutto quello che è stato scritto, sarà logico chiedersi se la teoria della probabilità sia necessaria nella vita. Per una persona normale è difficile rispondere, è meglio chiedere a colui che ha ripetutamente rotto il jackpot con esso.