I principali tipi di equazioni differenziali del primo ordine
Trova la funzione f secondo una certa dipendenza, che include la funzione stessa con argomenti e le sue derivate. Questo tipo di problema è rilevante in fisica, chimica, economia, tecnologia e altri campi della scienza. Tali dipendenze sono chiamate equazioni differenziali. Ad esempio, y '- 2xy = 2 è un'equazione differenziale del 1 ° ordine. Vediamo come vengono risolti questi tipi di equazioni.
Cos'è questo?
Un'equazione simile a questa:
- f (y, y ', ..., y (10) , y (11) , ..., y (k) , x) = 0,
Si chiama difur ordinario ed è caratterizzato come un'equazione dell'ordine k, e dipende da xe dalle derivate y ', y' ', ... - fino al k-esimo.
specie
Nel caso in cui la funzione che si trova nell'equazione differenziale dipenda da un solo argomento, il tipo dell'equazione differenziale viene indicato come ordinario. In altre parole, nell'equazione, la funzione f e tutte le sue derivate dipendono solo dall'argomento x.
Quando la funzione cercata dipende da diversi argomenti, le equazioni sono chiamate derivate differenziali parziali. In generale, assomigliano a:
- f (x, f x ', ..., y, f y ' ..., z, ..., f z '', ...),
dove l'espressione f x 'significa la derivata della funzione rispetto all'argomento x, e f z ' 'è la doppia derivata della funzione rispetto all'argomento z, e così via.
decisione
È facile indovinare cosa esattamente è considerato una soluzione da differenziare. le equazioni. Questa funzione, la cui sostituzione nell'equazione dà il risultato identico su entrambi i lati del segno di uguale, è chiamata soluzione. Ad esempio, l'equazione t '' + a 2 t = 0 ha una soluzione nella forma t = 3Cos (ax) - Sin (ax):
| 1 | t '= | -3aSin (ascia) - aCos (ascia) |
| 2 | t "= | -3a 2 Cos (ax) + a 2 Sin (ax) |
| 3 | t '' + a 2 t = | (-3a 2 Cos (ax) + a 2 Sin (ax)) + a 2 (3Cos (ax) - Sin (ax)) |
Avendo semplificato l'equazione 3, scopriamo che t '' + a 2 t = 0 per tutti i valori dell'argomento x. Tuttavia, dovrebbe immediatamente effettuare una prenotazione. L'equazione t = 3Cos (ax) - Sin (ax) non è l'unica soluzione, ma solo uno dell'insieme infinito, che è descritto dalla formula mCos (ax) + nSin (ax), dove m e n sono numeri arbitrari.
La ragione di questa relazione è la definizione di una funzione primitiva nel calcolo integrale: se Q è primitivo (più precisamente uno di molti) per la funzione q, quindi ∫q (x) dx = Q (x) + C, dove C è una costante arbitraria che viene azzerata operazione inversa - prendendo la derivata della funzione Q '(x).
Omettiamo la definizione di cosa sia una soluzione dell'equazione del kth order. Non è difficile immaginare che più grande è l'ordine della derivata, più costanti sorgono nel processo di integrazione. Va inoltre chiarito che la definizione sopra descritta per la soluzione non è completa. Ma per i matematici del diciassettesimo secolo era sufficiente.
Di seguito considereremo solo i principali tipi di equazioni differenziali del primo ordine. Il più semplice e basilare. Oltre a loro, ci sono altri differenziali. equazioni: omogenee, in differenziali completi e Bernoulli. Ma la soluzione di tutti è spesso associata al metodo delle variabili separabili, che sarà discusso di seguito.
Separazione delle variabili come soluzione
F = 0 - è un diff. equazione di ordine 1. Quando risolvono questo tipo di equazioni differenziali, sono facilmente ridotte alla forma y '= f. Così, per esempio, l'equazione e y ' - 1 - xy = 0 è ridotta alla forma y' = ln (1 + xy). L'operazione di riduzione di un'equazione differenziale a questa forma è chiamata la sua risoluzione rispetto alla derivata y '.
Dopo aver risolto l'equazione, devi portarlo in una forma differenziale. Questo viene fatto moltiplicando tutte le parti dell'uguaglianza per dx. Da y '= f otteniamo y'dx = fdx. Dato che y'dx = dy, otteniamo l'equazione nella forma:
- dy = f dx - che è chiamato la forma differenziale.
Ovviamente, y '= f (x) è la più semplice equazione differenziale del primo ordine. La sua soluzione è raggiunta tramite una semplice integrazione. Una forma più complessa è q (y) * y '= p (x), in cui q (y) è una funzione che dipende da y, e p (x) è una funzione che dipende da x. Avendolo portato al modulo differenziale, otteniamo:
- q (y) dy = p (x) dx
È facile capire perché l'equazione è chiamata divisa: il suo lato sinistro contiene solo la variabile y, e il lato destro solo x. Tale equazione è risolta usando il seguente teorema: se la funzione p ha un P primitivo e q ha un Q, allora l'integrale difur sarà Q (y) = P (x) + C.
Risolvi l'equazione z '(x) ctg (z) = 1 / x. Avendo ridotto questa equazione in una forma differenziale: ctg (z) dz = dx / x; e prendendo l'integrale di entrambe le parti di ∫ctg (z) dz = dx / x; otteniamo la soluzione nella forma generale: C + ln | sin (z) | = ln | x |. Per ragioni di bellezza, questa equazione può essere scritta in un'altra forma secondo le regole dei logaritmi, se impostiamo C = ln W - otteniamo W | sin (z) | = | x | o ancora più semplice, WSin (z) = x.
Equazioni della forma dy / dx = q (y) p (x)
La separazione delle variabili può essere applicata alle equazioni della forma y '= q (y) p (x). È solo necessario prendere in considerazione il caso in cui q (y) per alcuni numeri a scompare. Cioè, q (a) = 0. In questo caso, la funzione y = a è una soluzione, poiché per essa y '= 0, quindi anche q (a) p (x) è zero. Per tutti gli altri valori, dove q (y) non è uguale a 0, possiamo scrivere la forma differenziale:
- p (x) dx = dy / q (y),
integrando quale, ottenere una soluzione comune.
Risolvi l'equazione S '= t 2 (Sa) (Sb). Ovviamente, le radici dell'equazione sono i numeri aeb. Pertanto, S = a e S = b sono soluzioni di questa equazione. Per altri valori di S, abbiamo una forma differenziale: dS / [(Sa) (Sb)] = t 2 dt. Da dove è facile ottenere un integrale comune.
Equazioni della forma H (y) W (x) y '+ M (y) J (x) = 0
Risolvendo questo tipo di equazione per y ', otteniamo: y' = - C (x) D (y) / A (x) B (y). La forma differenziale di questa equazione sarà la seguente:
W (x) H (y) dy + J (x) M (y) dx = 0
Per risolvere questa equazione, dobbiamo considerare i casi zero. Se a è la radice di W (x), allora x = a è l'integrale, poiché ne consegue che dx = 0. Analogamente, con il caso se b è la radice di M (y). Quindi per l'intervallo di valori di x per cui W e M non svaniscono, è possibile dividere le variabili dividendo per l'espressione W (x) M (y). Quindi l'espressione può essere integrata.
Molti tipi di equazioni, a cui a prima vista è impossibile applicare la separazione delle variabili, si dimostrano tali. Ad esempio, nella trigonometria, questo è ottenuto attraverso trasformazioni identiche. Potrebbe anche essere opportuno avere qualche sostituzione spiritosa, dopo di che sarà possibile utilizzare il metodo delle variabili separate. I tipi di equazioni differenziali del primo ordine possono sembrare molto diversi.
Equazioni lineari
Un tipo ugualmente importante di equazioni differenziali, la cui soluzione avviene per sostituzione e riducendole al metodo delle variabili separate.
- Q (x) y + P (x) y '= R (x) - è un'equazione che è lineare se considerata rispetto a una funzione e alla sua derivata. P, Q, R - sono funzioni continue.
Per i casi in cui P (x) non è uguale a 0, è possibile ridurre l'equazione alla forma risolta rispetto a y ', dividendo tutte le parti per P (x).
- y '+ h (x) y = j (x), in cui h (x) e j (x) sono i rapporti delle funzioni Q / P e R / P, rispettivamente.
Soluzione per equazioni lineari
Un'equazione lineare può essere chiamata omogenea nel caso in cui j (x) = 0, cioè h (x) y + y '= 0. Tale equazione è detta omogenea e facilmente separabile: y' / y = -h (x). Integrandolo, otteniamo: ln | y | = -H (x) + ln (C). Dove y è espresso nella forma y = Ce -H (x) .
Ad esempio, z '= zCos (x). Separando le variabili e riducendo l'equazione alla forma differenziale, quindi integrando, otteniamo che la soluzione generale abbia l'espressione y = Ce Sin (x) .
Una non uniforme è un'equazione lineare nella sua forma generale, cioè, j (x) non è uguale a 0. La sua soluzione consiste di diversi stadi. Dovresti prima risolvere l'equazione omogenea. Cioè, equivale a j (x) a zero. Sia una delle soluzioni della corrispondente equazione lineare omogenea. Quindi l'identità u '+ h (x) u = 0 vale.
Esegui in y '+ h (x) y = j (x) un cambiamento della forma y = uv e ottieni (uv)' + h (x) uv = j (x) o u'v + uv '+ h (x) uv = j (x). Avendo portato l'equazione nella forma u (u '+ h (x) u) + uv' = j (x), possiamo vedere che nella prima parte u '+ h (x) u = 0. Dove otteniamo v' (x) = j (x) / u (x). Da qui calcoliamo l'antiderivata ∫v = V + С. Dopo la sostituzione inversa, troviamo y = u (V + C), dove u è la soluzione dell'equazione omogenea, e V è la relazione primitiva j / u.
Trova la soluzione per l'equazione y'-2xy = 2, che si riferisce al tipo di equazioni differenziali del primo ordine. Per fare questo, prima decidere equazione omogenea u '- 2xu = 0. Otteniamo u = e 2x + C. Per semplicità, la soluzione è impostata su C = 0, perché per risolvere il problema abbiamo bisogno solo di una delle soluzioni e non di tutti i tipi di opzioni.
Quindi sostituiamo y = vu e otteniamo v '(x) u + v (u' (x) - 2u (x) x) = 2. Quindi: v '(x) e 2x = 2, whence v' (x ) = 2e -2x . Quindi la primitiva V (x) = -∫e -2x d (-2x) = - e -2x + C. Di conseguenza, la soluzione generale per y '- 2xy = 2 è y = uv = (-1) (e 2x + C ) e -2x = - 1 - Ce -2x .
Come determinare il tipo di equazione differenziale? Per fare ciò, risolvilo rispetto alla derivata e vedi se puoi usare il metodo di separazione delle variabili direttamente o per sostituzione.