Equazione omogenea differenziale: caratteristiche e soluzione

Analizziamo una delle classi importanti di equazioni differenziali che vengono risolte riducendo al metodo di separazione delle variabili per sostituzione - equazioni omogenee. Toccheremo i metodi di soluzione. equazioni lineari che sono spesso confusi con omogeneo.

Equazioni omogenee

Per iniziare, diamo una definizione. F è omogeneo se è vero che f (kx, ky) = f (x, y), dove k è qualsiasi numero diverso da zero. Esempi di funzione omogenea:

Per verificare la loro omogeneità, è sufficiente moltiplicare gli argomenti della funzione F o A per un fattore e vedere se si riduce.

Sostituendo e (t) = f (1, t)

Sopra di esso è stato detto che le equazioni differenziali con funzioni omogenee riducono a quelle separabili sostituendo. Per spiegare questo, considera il lemma.

Lemma 1. Se w è una funzione omogenea di primo grado con argomenti xey, allora l'identità w (x, y) = e (y / x) è vera, e e (t) = f (1, t).

Questo lemma è provato in modo triviale: per questo, abbiamo semplicemente bisogno di impostare k = 1 / x per tutto il nonzero x.

Applicazione di sostituzione alla soluzione y '= f (x, y)

Supponiamo di avere y '= f, dove f è una funzione omogenea. Per risolvere un'equazione differenziale omogenea basata sul Lemma 1, possiamo rappresentare y '= e (y / x). L'equazione è risolvibile separando le variabili. Sia y / x = v la funzione desiderata. Quindi y = xv e y '= v + xv'. Otteniamo un'equazione della forma v + xv '= e (v) o xv' = e (v) - v.

Consideralo in modo più dettagliato. In questo caso, le soluzioni dell'equazione sono tutti valori di v = v _n - i punti in cui la funzione [e (v) - v] svanisce. Di conseguenza, i valori di y _n = v _n x - sono la soluzione y '= e (y / x). Nel dominio dei valori in cui [e (v) - v] non scompare, è possibile applicare la separazione delle variabili. Quello è:

Integrando, otteniamo la soluzione E = ln | x | + C.

nota

Considerare perché la sostituzione di cui sopra funziona quando si risolvono equazioni differenziali omogenee. Per fare ciò, prendi la soluzione generale E = ln | x | + C e sostituisci x con kx e y con ky: E = ln | kx | + C = ln (k) + ln | x | + C. A sua volta, l'espressione ln (k) + C può essere rappresentata come W, e quindi la soluzione sarà simile a E = ln | x | + W.

Si scopre che la sostituzione di x con kx e y con ky porta solo a sostituire una soluzione con un'altra, ma dalla stessa classe. In altre parole, l'altra soluzione soddisfa anche l'equazione originale. La proprietà descritta sul piano delle coordinate è chiamata omotetia, cioè le curve integrali di equazioni differenziali omogenee si trasformano l'una nell'altra.

Esempio 1

Data l'equazione l ² + ml + m ² l '+ m ² = 0. Trova la sua soluzione. Un occhio inesperto può concludere frettolosamente che questa equazione non è omogenea, poiché la sostituzione di km invece di me kn invece di n non fornisce l'equazione originale. L'errore in questo caso è che l'equazione non è stata precedentemente risolta rispetto alla derivata n '. Facciamolo

In questa forma, è facile determinare che l'equazione è omogenea.

Procediamo alla soluzione sostituendo l / m = v. Otteniamo l = vm e l '= mv' + v. Sostituisci questi valori nell'equazione:

Otteniamo mv '= - (v + 1) ² . Ovviamente, il punto -1 è la 'soluzione nj dell'equazione, e prima della sostituzione n = -m. Quando v + 1 non è uguale a zero, dividi le variabili:

Dall'equazione risultante in forma differenziale, l'integrale comune si trova facilmente:

Effettueremo la sostituzione di ritorno:

Non dovresti inoltre dimenticare la soluzione n = -m precedentemente trovata.

Equazioni differenziali lineari

Spesso, equazioni differenziali omogenee sono confuse con quelle lineari. Per completezza, diamo un'occhiata anche a questa lezione. Quindi, un'equazione differenziale è chiamata lineare, in cui la funzione e la sua derivata sono disposte in una relazione lineare, cioè otteniamo un'equazione che ha la seguente forma:

• o (x) y '+ w (x) y = e (x);

w, o, e - rappresentano qualsiasi funzione.

Per risolvere questa equazione per y ', è necessario considerare tutte le radici di o (x). Supponiamo che per qualche numero o (x ₀ ) = 0, allora una delle soluzioni dell'equazione descritta sia x ₀ , poiché otteniamo o (x ₀ ) dy = 0 e dx = 0. Questo diventa ovvio se scriviamo la forma differenziale dell'equazione moltiplicando entrambi i lati per dx: o (x) dy + w (x) ydx = e (x) dx.

Eliminando i valori zero di o (x), per i restanti valori di x, scrivi l'equazione nella forma risolta, dividendola per o (x).

Risoluzione di equazioni differenziali lineari

In questa classe di equazioni ci sono due opzioni. Il primo è quando il termine libero p (x) è zero (omogeneo), e il secondo è quando p (x) è diverso da zero (non omogeneo). Quindi, abbiamo i seguenti due casi:

• y '+ r (x) y = 0 è un'equazione omogenea.
• y '+ r (x) y = p (x) è un'equazione non omogenea.

L'omogeneo si riduce facilmente alla forma divisa y '/ y = -r (x) o dy / y = -r (x) dx. Dopo l'integrazione, otteniamo la soluzione generale per equazioni omogenee: y = Ce ^{-r (x)} .

Nel caso generale, l'equazione lineare (disomogenea) viene risolta in più fasi:

1. Innanzitutto, l'equazione corrispondente viene risolta in modo uniforme: p (x) è convenzionalmente equiparato a 0. Supponi che tu sia la soluzione desiderata, cioè, abbiamo u '+ r (x) u = 0. Ricorda questa identità.
2. Nell'equazione disomogenea introduciamo la sostituzione y = uv, quindi (uv) '+ (uv) r (x) = p (x). Dopo aver apportato alcune trasformazioni, abbiamo v (r (x) u + u ') + uv' = p (x). Ricordando l'identità dall'elemento 1, otteniamo v'u = p (x). In questo caso, la primitiva si trova facilmente da v '= p / u.
3. Di conseguenza, la soluzione non omogenea consiste di due parti: u (C + V), in cui u è una soluzione omogenea con costante zero e V è primitivo per il rapporto p / u.

Un'altra confusione di equazioni omogenee sorge quando si considerano sistemi omogenei di equazioni. Tuttavia, questa è un'altra questione la cui considerazione va oltre lo scopo di questo articolo.

esempi

Dato il problema. Hai bisogno di trovare una soluzione.

Ovviamente, questa equazione non è uniforme, quindi per prima cosa risolviamo la seguente equazione:

Si noti che una delle soluzioni dell'equazione è y = 0. La ricerca di una soluzione generale avviene attraverso una forma differenziale, che consente di utilizzare la separazione delle variabili:

L'integrazione porta alla soluzione: ln | y | = A - ln (1 + t ² ) / 2. Rappresentando A come in B, puoi scrivere la soluzione in modo più elegante:

La soluzione dell'equazione disomogenea è possibile eseguire in un altro, in modo simile, che è chiamato il metodo di variazione della costante, o il metodo di Lagrange. Lo descriviamo in teoria.

In un'equazione differenziale della forma r (x) y + y '= p (x), cambiamo y = c (x) e ^{-R (x)} , in cui R (x) è primitiva r (x), e con (x) - funzione sconosciuta da determinare.

Dopo tutte le trasformazioni, risulta che c '(x) = e ^{R (x)} f (x). Dunque con (x) è facilmente integrato. Sostituendo c (x) di nuovo in y = c (x) e ^{-R (x)} , otteniamo y = e ^{-R (x)} c (x) + De ^{-R (x)} - la soluzione generale dell'equazione, dove D è una costante , che si verifica quando c (x) è integrato.

Usando il metodo Lagrange per il nostro problema, impostiamo:

Sostituendo questa modifica nell'equazione originale, troviamo che c (t) = (1/2) t ² . Scriviamo la soluzione dell'equazione disomogenea:

Considera un altro esempio. Trova soluzioni (x - 2xy - y ² ) dy + y ² dx = 0. Si noti che y = 0 è una delle soluzioni dell'equazione. Usando questo fatto, possiamo dividere tutte le parti dell'equazione con l'espressione y ² dy. Dopo aver effettuato alcune trasformazioni otteniamo:

Va notato che sembra che abbiamo sviluppato una dipendenza. Perché no? Le x e y nella funzione sono uguali e dipendenti l'una dall'altra. Ora stiamo risolvendo non la funzione y (x), ma x (y), e x ' _y non è altro che la derivata della funzione x (y) rispetto alla variabile y. O dx / dy. In questa forma, è facile determinare che abbiamo a che fare con un'equazione disomogenea, quindi risolviamo questa equazione omogenea come questa:

Otteniamo x = Cy ² e ^{1 / y} . Resta solo da trovare una soluzione dell'equazione originale con un metodo variazionale, impostando x = y ² c (y) e ^{1 / y} . Dopo la sostituzione di questa sostituzione nell'equazione, abbiamo:

Da dove calcoliamo che c (y) = e ^{-1 / y} + D. La soluzione al problema sarà la seguente:

y = 0

x = y ² + Dy ² e ^{1 / y} .

Abbiamo considerato modi per risolvere equazioni omogenee lineari.