Flacone Klein: proprietà e usi

Una bottiglia di Klein è una varietà bidimensionale, una certa superficie non orientabile. Fu descritto per la prima volta dal matematico tedesco Klein nel 1882. Se tagliate una bottiglia di Klein lungo il suo asse di simmetria a metà in parti uguali, il risultato sarebbe una striscia di Möbius. Il nome stesso, molto probabilmente, deriva da una traduzione errata della parola tedesca Flache - surface. Scrivendo, questa parola è vicina alla parola Flasche - bottiglia. In futuro, questo nome è in questa versione restituito alla lingua tedesca.

Sfera dentro e fuori

Nastro di Mobius, Bottiglia di Klein ed eptaedro - tutto questo è un design statico completo con superfici interne. Nel 20 ° secolo, i topologi iniziarono a risolvere problemi di natura dinamica, e il primo di essi fu l'inversione di una sfera. A differenza delle figure precedenti, la superficie della sfera è orientata. Il suo lato interno può essere dipinto di blu, e l'esterno - nel colore rosso. Se, dopo tale colorazione delle superfici, modifichiamo i poli sud e nord della sfera in alcuni punti, spostandoli lungo l'asse di collegamento, la sfera sarà rivolta verso l'esterno in modo che la sua superficie esterna diventi blu e la superficie interna diventi rossa. Una piega si forma lungo l'intera circonferenza dell'equatore. Ma non è tutto: quando i poli passano per lo più lungo l'asse e la superficie esterna della sfera cambia colore da rosso a blu, quindi lunghezza dell'equatore verrà creata una superficie toroidale, dipinta dall'esterno in rosso. Di conseguenza, una sfera risultata a metà mostra un altro effetto interessante nella topologia - interlacciamento dello spazio esterno e interno, poiché entrambe le superfici risultano dall'esterno.

Come costruire un modello di bottiglia Klein

Per prima cosa devi prendere una bottiglia con i buchi nel muro e nella parte inferiore e tirare il collo, piegandolo verso il basso e passando attraverso il buco nel muro. Se costruisci un modello di una vera bottiglia nello spazio quadridimensionale, non c'è bisogno di un buco nel muro. Ma non si può farne a meno se il modello è costruito in uno spazio euclideo tridimensionale (R3). Quindi il collo deve essere fissato al foro nella parte inferiore. Una bottiglia di Klein, a differenza di un normale bicchiere, non ha un "bordo" dove la superficie finisce bruscamente. Se lo confrontiamo con un palloncino, il percorso dall'interno all'esterno passa senza attraversare la superficie. Quindi, in realtà, l'oggetto non ha né superficie interna né esterna.

Flacone Klein: applicazione e proprietà

Questo oggetto, come la striscia di Möbius, è una varietà bidirezionale differenziabile non orientabile. Ma, a differenza di un nastro, una bottiglia di Klein è una varietà compatta senza un bordo. Se incollate due bordi di Mobius lungo i bordi, otterrete una bottiglia di Klein. Ma questo non può essere fatto nel solito spazio (R3) senza creare un autointersecarsi. La bottiglia di Klein può essere solo immersa spazio tridimensionale ma allo stesso tempo può essere incorporato nello spazio quadridimensionale. Questo oggetto ha un numero cromatico di superfici di sei.