Equazioni quadrate. Risoluzione di equazioni quadrate
All'inizio, questo argomento può sembrare complicato a causa delle molte formule non molto semplici. Non solo le stesse equazioni quadratiche hanno entrate lunghe, ma le radici sono trovate anche attraverso le discriminanti. Ci sono un totale di tre nuove formule. Non molto facile da ricordare. Questo è possibile solo dopo la frequente soluzione di tali equazioni. Quindi tutte le formule saranno ricordate da sole.
Vista generale dell'equazione quadratica
Qui viene loro offerto un record esplicito, quando viene registrato per primo il livello più grande e poi - in ordine decrescente. Spesso ci sono situazioni in cui i componenti sono in disaccordo tra loro. Quindi è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente del grado della variabile.
Introduciamo la notazione. Sono presentati nella tabella seguente.
| Designazione di grandezza | Il suo nome |
| a, b, c | coefficienti che sono numeri arbitrari |
| x | variabile |
| D | discriminante |
| x 1 x 2 | radici dell'equazione |
Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche si riducono alla seguente voce.
Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Lascia che questa formula sia indicata dal numero uno.
Quando viene fornita l'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché una delle tre opzioni è sempre possibile:
- la soluzione avrà due radici;
- la risposta è un numero;
- le radici dell'equazione non saranno affatto.
E mentre la decisione non è completata, è difficile capire quale delle opzioni cadrà in un caso particolare.
Tipi di record di equazioni quadrate
Ci possono essere voci diverse nelle attività. Non sembreranno sempre una formula generale per un'equazione quadratica. A volte mancherà alcuni degli oggetti. Ciò che è stato scritto sopra è un'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcos'altro. Questi record sono anche chiamati equazioni di secondo grado, solo incomplete.
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Inoltre, solo i termini i cui coefficienti sono "in" e "c" possono scomparire. Il numero "a" non può essere zero in nessuna condizione. Perché in questo caso la formula diventa un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni sono le seguenti:
e
Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelli pieni, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Lascia che la prima formula sia il numero due e la seconda tre.
Discriminante e dipendenza del numero di radici sul suo valore
È necessario conoscere questo numero per poter calcolare radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula di un'equazione quadratica. Al fine di calcolare la discriminante, è necessario utilizzare l'equazione scritta di seguito, che avrà il numero quattro.
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Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, allora la risposta all'equazione sarà di due radici diverse. Con un numero negativo, le radici dell'equazione quadratica saranno assenti. Nel caso della sua uguaglianza a zero, la risposta sarà una.
Come viene risolta l'equazione quadratica della forma completa?
In effetti, la considerazione di questo problema è già iniziata. Perché prima devi trovare il discriminante. Quando è chiaro che ci sono radici di un'equazione quadratica e il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, allora è necessario applicare questa formula.
Dato che c'è un segno "±", ci saranno due valori. L'espressione radice quadrata è la discriminante. Pertanto, la formula può essere riscritta in modo diverso.
Formula cinque. Dallo stesso record è chiaro che se il discriminante è zero, allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.
Se la soluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora elaborata, allora è meglio scrivere i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma all'inizio c'è confusione.
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Come viene risolta un'equazione incompleta quadratica?
Tutto è molto più semplice qui. Anche non c'è bisogno di formule aggiuntive. E non hanno bisogno di quelli che sono già stati registrati per il discriminante e l'ignoto.
Per prima cosa consideriamo l'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza, si presume che metta il valore sconosciuto fuori dalla parentesi e risolva l'equazione lineare che rimarrà tra parentesi. La risposta sarà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, poiché esiste un fattore costituito dalla variabile stessa. Il secondo si presenterà alla decisione equazione lineare.
L'equazione incompleta numero tre viene risolta trasferendo il numero dal lato sinistro dell'uguaglianza a destra. Quindi devi dividere per il coefficiente rivolto verso l'ignoto. Resta solo da estrarre radice quadrata e ricorda di scriverlo due volte con segni opposti.
Consigli utili
Successivamente, scriviamo alcune azioni che ci aiutano a imparare come risolvere tutti i tipi di uguaglianza che si trasformano in equazioni di secondo grado. Aiuteranno lo studente ad evitare errori incuranti. Queste carenze sono la causa di scarse stime nello studio dell'argomento "Equazioni quadrate (grado 8)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere eseguite costantemente. Perché ci sarà un'abilità costante.
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- Per prima cosa devi scrivere l'equazione nel modulo standard. Cioè, prima il termine con il più alto grado della variabile, e quindi - senza il grado e l'ultimo - solo un numero
- Se un segno meno appare davanti al coefficiente "a", allora può complicare il lavoro per un principiante a studiare equazioni di secondo grado. È meglio sbarazzarsene. A tal fine, tutta l'uguaglianza deve essere moltiplicata per "-1". Ciò significa che tutti i termini cambieranno il segno al contrario.
- Allo stesso modo si raccomanda di sbarazzarsi delle frazioni. Basta moltiplicare l'equazione per il moltiplicatore appropriato in modo che i denominatori siano ridotti.
esempi
Sono richieste le seguenti equazioni quadratiche:
x 2 - 7x = 0;
5x 2 - 30 = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
La prima equazione: x 2 - 7x = 0. È incompleta, quindi, è risolta come descritto per la seconda formula.
Dopo aver messo le parentesi fuori, x (x - 7) = 0.
La prima radice assume il valore: x 1 = 0. Il secondo sarà trovato dall'equazione lineare: x - 7 = 0. È facile notare che x 2 = 7.
La seconda equazione: 5x 2 + 30 = 0. Ancora incompleta. È risolto solo come descritto per la terza formula.
Dopo aver trasferito 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Si scopre: x 2 = 6. Le risposte saranno i numeri: x 1 = √6, x 2 = - √6.
La terza equazione: 15 - 2x - x 2 = 0. Di seguito, la soluzione delle equazioni quadratiche inizierà con la riscrittura in una forma standard: - x 2 - 2x + 15 = 0. Ora è il momento di usare il secondo consiglio utile e moltiplicare tutto di meno uno . Risulta x 2 + 2x - 15 = 0. Secondo la quarta formula, il discriminante deve essere calcolato: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. È un numero positivo. Da quanto è stato detto sopra, risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati dalla quinta formula. Significa che x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 = 3, x 2 = - 5.
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La quarta equazione x 2 + 8 + 3x = 0 converte in questo: x 2 + 3x + 8 = 0. Il suo discriminante è uguale a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questa attività sarà la seguente: "Non ci sono radici".
La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 dovrebbe essere riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula per il discriminante, otteniamo il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, vale a dire: x = -12 / (2 * 1) = -6.
La sesta equazione (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) richiede trasformazioni, che consistono nel portare tali termini in posizione prima di aprire le parentesi. Al posto del primo ci sarà la seguente espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questo record: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato questi termini, l'equazione sarà simile a: x 2 - x = 0. Si è rivelato incompleto . Simile a lui è già stato considerato un po 'più alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.