Formula di Tsiolkovsky: uso ed esempio

La formula di Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky esprime la massima velocità aerei, che raggiunge durante un volo jet. Si ottiene integrando l'equazione di Meshchersky.

Formula Tsiolkovsky

Questa formula esprime la velocità di un razzo trasmesso dai gas del combustibile bruciato. L'equazione di Meshchersky e la formula di Tsiolkovsky sono inestricabilmente collegate - l'equazione di Meshchersky descrive la massa del punto materiale, che cambia col tempo, mentre il movimento del razzo jet costantemente diminuisce la sua massa a causa della combustione del carburante. Il cambiamento di velocità con una massa che cambia (diminuendo nel nostro caso) di un corpo in movimento - questo è ciò che implica una propulsione a reazione. La formula di Tsiolkovsky è basata su di esso.

Per risolvere una serie di problemi di meccanica teorica nel campo della propulsione a getto, viene usata l'equazione di Meshchersky (l'equazione di base del punto materiale della massa variabile) e la formula di Tsiolkovsky (la formula della velocità finale dell'aereo), che sono chiamate le relazioni di base della teoria della propulsione a getto.

La base per la progettazione e la pianificazione nel campo del volo spaziale è proprio la formula di Tsiolkovsky, la cui conclusione è stata una vera svolta per l'esplorazione dello spazio.

Compiti di Tsiolkovsky

Per risolvere il problema dei voli interplanetari, K.E. Tsiolkovsky considerava un razzo un mezzo di fuga. Egli ha derivato una formula che può essere utilizzata per determinare la dipendenza della massa di un aeromobile con il combustibile e la velocità di separazione dei prodotti di combustione del combustibile usato a razzo rispetto ad esso. Mostriamo due dei suoi compiti:

• Lo studio del movimento di un corpo con una massa variabile con una singola forza reattiva che agisce su di esso.
• Lo studio del movimento del corpo in un campo di gravità uniforme di massa variabile vicino alla superficie della Terra

prefazione

Per tutti i voli spaziali, l'iniziale e fondamentale era la formula di Tsiolkovsky per la velocità del razzo, la cui produzione è presentata di seguito.

Per prima cosa devi prenderlo, grosso modo, per un punto materiale. Sarà influenzato dalle forze gravitazionali della Terra e di altri corpi celesti (al momento del decollo, la forza gravitazionale della Terra sarà, naturalmente, la più forte), la forza di resistenza dell'aria da un lato e la forza reattiva opposta diretta risultante dal rilascio di gas bruciato alla base del corpo . Il razzo con una grande forza espelle questi gas, che gli dicono l'accelerazione diretta opposta al lato dell'emissione. Ora è necessario presentare questi argomenti sotto forma di una formula.

Il principio del volo del razzo è piuttosto semplice. Con grande velocità, il gas del razzo viene estratto dalla combustione del carburante, il che conferisce al razzo stesso una certa forza che agisce in senso opposto alla direzione del movimento. Poiché si ritiene che le forze esterne non agiscano sul razzo, il sistema sarà chiuso e il suo momento non dipende dal tempo.

Equazione di Meshchersky

Uno dei principali esempi di movimenti del corpo con massa variabile è un razzo con un singolo stadio, la cui massa varia solo a causa della combustione del carburante in esso contenuto. La massa di un tale razzo è composta da invariato (il razzo stesso e il suo carico utile) e variabile (carburante). Un tale esempio è un modello semplificato.

Tuttavia, nella moderna produzione di razzi sono utilizzati razzi multistadio. Il principio del loro lavoro è che, grazie al grande volume di passaggi, sono in grado di trasportare e utilizzare una quantità molto maggiore di carburante dopo il decollo. Dopo la sua combustione, il razzo riporta un impulso significativo (molto più grande di quello che si può ottenere usando uno stadio), e le parti che sono diventate inutili vengono staccate dalla base, riducendo il peso totale dell'80-90%. Tuttavia, per calcolare i parametri di un razzo multistadio, è necessario sommare gli indicatori di ciascuno dei suoi componenti.

L'equazione differenziale di Meshchersky descrive il movimento punto materiale con massa variabile.

(m + dm) (υ + dυ) + dm 'υ' - mυ = Fdt - al tempo dt (la differenza tra la forza al tempo t e dt + t sarà un incremento).

Dove m e υ dipendono dal tempo, dt - un po 'di tempo di volo. Perché è formata la forza di movimento del gas - dm 'υ', dm '- la massa del gas formato dal carburante. F è la forza risultante.

Nell'espressione di cui sopra, l'incremento della massa del razzo e del gas e della velocità scorrono a zero, quindi l'espressione assume la forma seguente:

mdυ = υ''dm + Fdt,

inoltre, υ "è uguale alla differenza tra la velocità del gas e la velocità ed è la velocità del deflusso del gas.

- l'equazione in forma inizia a coincidere con la seconda legge di Newton - F = ma = m

Si chiama l'equazione di Meshchersky.

Derivazione della formula Tsiolkovsky

È necessario derivare una formula che descrive il movimento di un corpo con una massa variabile. Formula Tsiolkovsky tale è. L'output è presentato di seguito.

In questi calcoli, si presume che le forze esterne non agiscano su un corpo in movimento, cioè F = 0.

Allora mdυ = υ''dm

Poiché l'impatto delle forze esterne su un razzo volante è zero, si muove in linea retta e la velocità del movimento è opposta alla velocità del gas. Di conseguenza, υ = -υ ''

Si scopre l'espressione che deve essere integrata.

È necessario trovare una costante. Per fare ciò, è sufficiente sostituire le condizioni iniziali nell'equazione - la velocità è zero, e la massa è la somma della massa di carburante e la massa del razzo (m ₀ + m)

In generale, m nella formula consiste di due parametri: dal carico utile e dal design del razzo. Il carico utile è il peso totale del carico e dell'equipaggio.

Sostituiamo la costante trovata nella formula. Di conseguenza, si ottiene l'espressione della formula richiesta.

Questa è una delle varianti della formula di Tsiolkovsky per la velocità. Tuttavia, a volte è necessario prendere in considerazione con precisione la massa. Pertanto, a volte è scritto come segue:

Questa formula viene utilizzata per calcolare la massa di carburante necessaria per lo sviluppo di una determinata velocità in condizioni specificate.

Considererò ulteriormente un piccolo compito. Supponiamo che un razzo abbia bisogno di sviluppare la prima velocità cosmica per la rotazione lungo l'orbita terrestre. Allora prima devi calcolare la massa combustibile, ovviamente. Quindi è molto semplice esprimerlo dalla formula di Tsiolkovsky.

Meccanica relativistica

Tutte le suddette formule possono essere utilizzate solo nel caso in cui la velocità del razzo sia molto inferiore alla velocità della luce (υ <

Tuttavia, se la velocità del razzo può essere confrontata con la velocità della luce, è necessario applicare altre leggi.

Sia m e υ la massa del razzo nello stato e la sua velocità in qualsiasi momento t, e υ 'm' sia la velocità di rilascio del gas e la sua massa allo stesso tempo. Cioè, m 'è la massa del gas rilasciato, quindi il suo valore per il calcolo non è importante, m' = 0.

È necessario scrivere la legge di conservazione della quantità di moto e la legge del risparmio energetico nella meccanica relativistica, quindi differenziare la prima equazione, dato che m '= 0 e ottenere l'espressione terza.

dove sei il tasso di emissione dei gas.

Basandosi sulla legge dell'aggiunta di velocità nella meccanica relativistica, questa espressione segue. Deve essere convertito rispetto a υ 'e integrato per ottenere la versione finale dell'equazione.

E poi otteniamo la formula di Tsiolkovsky per la velocità, paragonabile alla velocità della luce. Può anche essere chiamato la formula relativistica di Tsiolkovsky.

Puoi in qualche modo complicare il compito e considerare come esempio un razzo con diverse fasi. Pertanto, la formula di Tsiolkovsky per un razzo multistadio è la somma dei parametri necessari per il calcolo. Cioè, per calcolare la velocità di un razzo multistadio, è necessario sommare la velocità di ciascuna delle parti componenti.

Diverse conclusioni dalla formula Tsiolkovsky

La base di tutti i voli spaziali è la formula di Tsiolkovsky.

• La velocità del movimento dipende direttamente dalla velocità relativa di espulsione dei gas, quindi, maggiore è la velocità di espulsione, più veloce il razzo vola.
• Maggiore è il rapporto tra la somma della massa del razzo e la massa del carburante rispetto alla massa del razzo, maggiore è la velocità del razzo. L'aumento si verifica anche in base a una certa dipendenza - se il rapporto di massa aumenta in progressione geometrica cioè, ogni numero precedente è inferiore al successivo un certo numero di volte, quindi la velocità aumenta in una progressione aritmetica - ogni numero precedente è inferiore al successivo di un certo numero. Tuttavia, questo non significa che la velocità sia proporzionale alla massa. Lo stesso Tsiolkovsky ha osservato nei suoi scritti che la velocità cresce più lentamente rispetto all'aumento del carburante, ma non ha limiti.
• Di conseguenza, per lo sviluppo di maggiore velocità, è necessario aumentare il tasso di espulsione del gas e la massa di carburante.

Efficienza del razzo

Quando si calcola il volo, è importante capire chiaramente quale percentuale di energia ottenuta dopo la combustione del carburante viene utilizzata come lavoro utile?

Pertanto, l'efficienza è chiamata il rapporto energie cinetiche razzi e gas dopo l'espulsione. Indichiamo m e m 'per la massa del razzo all'inizio e alla fine del volo, il tempo continuo t. Di conseguenza, - il tasso di espulsione dei gas.

Quindi, secondo la formula di Tsiolkovsky, l'efficienza del motore a razzo può essere trovata come segue:

Va notato che questa efficienza è molto piccola e non supera il 5%, inoltre, come nei motori a scoppio, questo indicatore è pari all'80%.

Un'altra forma di formula

Alcune risorse usano una formula leggermente diversa di Tsiolkovsky, un'equazione in cui viene usato un altro parametro invece di υ '-I. . La prima domanda che viene in mente è la questione della dimensionalità. A differenza della velocità, la quantità di moto ha una dimensione diversa, che contraddice l'essenza della formula. Tuttavia, l'impulso specifico stesso coincide in dimensione con velocità.

L'impulso specifico indica il numero di secondi in cui il motore, dopo aver speso un'unità di carburante, riceverà un'unità di forza. Utilizzato esclusivamente nella descrizione del motore a reazione.

Utilizzare quando si creano missili

La formula di Tsiolkovsky per un razzo multistadio viene anche utilizzata nella progettazione di un razzo. Per questo, viene utilizzata una relazione completamente logica, che è praticamente direttamente proporzionale: più carburante viene usato quando si vola, maggiore sarà la massa del razzo stesso. Ciò è dovuto al fatto che per il trasporto di grandi quantità di carburante, rispettivamente, sono necessari grandi serbatoi, quindi le dimensioni della nave e persino il motore stesso aumentano di conseguenza. Qualche soluzione al problema è l'uso di combustibili solidi, che richiede meno condizioni di conservazione. Tuttavia, al momento ha il più piccolo impulso specifico di quelli esistenti.

Velocità dello spazio

La formula di Tsiolkovsky è anche usata per calcolare la quantità necessaria di combustibile per lo sviluppo di una certa velocità - di solito una delle quattro cosmiche.

• La prima velocità cosmica: la nave entra in orbita attorno al pianeta. Per la Terra è di circa 7,91 km / s.
• La seconda velocità cosmica: un razzo supera la forza di gravità e va nello spazio aperto. Per la Terra - 11,2 km / s.
• La terza velocità cosmica - un razzo supera la forza di attrazione di una stella nel sistema (ad esempio, il Sole) e va oltre. Per il sistema solare - 42 km / s, tuttavia, questi calcoli sono imprecisi a causa della necessità di superare l'attrazione del pianeta.
• La quarta velocità cosmica: la nave è in grado di lasciare la galassia. Per la Via Lattea - più di 500 km / s, calcolati in base al punto di localizzazione.